дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия


Основные задачи на прямую и плоскость

Следующие две задачи связаны с нахождением угла.

1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Угол $ {\varphi}$ между прямыми-- это угол $ \psi$ между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол $ (\cos\psi>0)$ , или $ {\varphi}=\pi-\psi$ , если $ \psi$ -- тупой угол $ (\cos\psi<0)$ . Во втором случае $ {\cos{\varphi}=-\cos\psi=\vert\cos\psi\vert}$ .

Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы $ {\bf p}_1$ и $ {\bf p}_2$ прямых. Тогда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf p}_1{\bf p}_2}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert},$

а искомый угол $ {\varphi}$ определяется из равенства

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf p}_1{\bf p}_2\vert}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert}.$

2. Даны уравнение плоскости $ \Pi$ и уравнения прямой $ {\gamma}$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между прямой и плоскостью.

По определению, угол между прямой и плоскостью-- это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 11.12).




Рис.11.12.$ {\varphi}$ -- угол между прямой и плоскостью


Пусть $ \psi$ -- угол между нормальным вектором n плоскости $ \Pi$ и направляющим вектором p прямой $ {\gamma}$ . Тогда либо $ {{\varphi}=\frac{\pi}2 -\psi}$ (рис. 11.12), либо $ {{\varphi}=\psi-\frac{\pi}2}$ (рис. 11.13).




Рис.11.13.$ {\varphi}$ -- угол между прямой и плоскостью


В обоих случаях $ \sin{\varphi}=\vert\cos\psi\vert$ , а так как $ \cos\psi=\frac{{\bf n}{\bf p}} {\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}$ , то

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}{\bf p}\vert}{\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}.$

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;