дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия


Прямая в пространстве

Замечание 11.3 Если в качестве параметра $ t$ взять время, то точка $ M$ будет двигаться по прямой со скоростью $ \vert{\bf p}\vert$ , причем в момент времент $ {t=0}$ ее положение совпадает с точкой $ M_0$ . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

От векторного соотношения(11.12) перейдем к соотношениям координат. Так как $ (x;y;z)$ -- координаты точки $ M$ , то $ {{\bf r}=(x;y;z)}$ , $ {{\bf r}_0=(x_0;y_0;z_0)}$ , $ {t{\bf p}=(tk;tl;tm)}$ . Из формулы(11.12) получим

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x=kt+x_0,\\ y=lt+y_0,\\ z=mt+z_0.\end{array}\right.$ (11.13)

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.

Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром $ t$ дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части-- координаты точки на прямой.

Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки $ M_0$ можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.

Из уравнений(11.13) выразим параметр $ t$ :

$\displaystyle t=\frac{x-x_0}k,\quad t=\frac{y-y_0}l,\quad t=\frac{z-z_0}m.$

Так как во всех трех соотношениях параметр $ t$ имеет одно и то же значение, то

$\displaystyle \frac{x-x_0}k=\frac{y-y_0}l=\frac{z-z_0}m.$ (11.14)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Замечание 11.4 В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты $ k,\,l,\,m$ , из которых одна нулевая.

Пример 11.3 Прямая с каноническими уравнениями
$\displaystyle \frac{x-2}1=\frac{y-2}2=\frac{z+5}0$
имеет направляющий вектор $ {\bf p}=(1;2;0)$ .

Замечание 11.5 Канонические уравнения прямой(11.14) нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака "=" и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} l(x-x_0)=k(y-y_0),\\ m(x-x_0)=k(z-z_0).\end{array}\right.$
Возможны, впрочем, еще две записи системы, подумайте какие.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;