дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия


Расстояние от точки до плоскости

Предложение 11.1 Пусть плоскость $ \Pi$ задана уравнением $ {Ax+By+Cz+D=0}$ и дана точка $ M_0 (x_0;y_0;z_0)$ . Тогда расстояние $ \rho$ от точки $ M_0$ до плоскости $ \Pi$ определяется по формуле
$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$(11.7)

Доказательство. Расстояние от точки $ M_0$ до плоскости$ \Pi$ -- это, по определению, длина перпендикуляра $ MK$ , опущенного из точки $ M_0$ на плоскость $ \Pi$ (рис.11.9).

Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости


Вектор $ \overrightarrow {KM_0}$ и нормальный вектор n плоскости $ \Pi$ параллельны, то есть угол $ {\varphi}$ между ними равен 0 или $ \pi$ , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

$\displaystyle \vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert=\vert{\bf n}\vert\vert\overrightarrow {KM_0}\vert\vert\cos{\varphi}\vert=\vert{\bf n}\vert\rho.$

Откуда

$\displaystyle \rho=\frac{\vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert}{\vert{\bf n}\vert}.$(11.8)


Координаты точки $ K$ , которые нам неизвестны, обозначим $ x_1,\,y_1,\,z_1$ . Тогда $ \overrightarrow {KM_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1)$ . Так как $ {{\bf n}=(A;B;C)}$ , то $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)}$ . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1).$(11.9)


Точка $ K$ лежит на плоскости $ \Pi$ , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $ {Ax_1+By_1+Cz_1+D=0}$ . Отсюда находим, что $ {Ax_1+By_1+Cz_1=-D}$ . Подставив полученный результат в формулу(11.9), получим $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0+D}$ . Так как $ {\vert{\bf n}\vert= \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , то из формулы(11.8) следует формула(11.7).

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;