дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах

Сравнение бесконечно малых

Пример 2.36 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$
Для этого заметим, что, как мы проверяли выше, $ x^2$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin3x$. Аналогично проверяется, что $ 2x^3$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin5x$. Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}.$
Далее, поскольку $ \sin3x$, очевидно, эквивалентен $ 3x$ (согласно первому замечательному пределу), а $ \sin5x$ эквивалентен $ 5x$, то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на$ x$:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{5x}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}.$

При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.

Предложение 2.8 Пусть $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)$ и $ \psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi_1(x)$. Тогда:
1) $ {\varphi}(x)\psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)\psi_1(x)$
и
2) $ {\varphi}^m(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1^m(x)$ при любом $ m>0$ (в случае, если степень $ z^m$ определена только при $ z\geqslant 0$, нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство $ {\varphi}(x)\geqslant 0$.

(Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку $ m$-- не обязательно целое число.)

Доказательство. Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)\psi(x)}{{\varphi}_1(x)\psi_1(x)}=1,$

если известно, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1$

и

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\psi_1(x)}=1.$

Но это сразу следует из теоремы о пределе произведения ( теорема 2.9).

Второе утверждение означает, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}^m(x)}{{\varphi}_1^m(x)}= \lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1,$

если известно, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1.$

Это следует из того, что степенная функция $ g(z)=z^m$ непрерывна при любом $ z=z_0$, если $ m>0$. Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела:

$\displaystyle \lim_{z\to z_0}g(z)=g(\lim_{z\to z_0}z)=g(z_0).$

В случае степенной функции $ g(z)=z^m$, сделав замену переменного $ z=z(x)$ и связанную с ней замену базы, мы получим, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}z(x)^m=\left(\lim_{\mathcal{B}}z(x)\right)^m.$

Беря $ z(x)=\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}$, получаем, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\righ... ...= \left(\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1^m=1,$

что и требовалось доказать.


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;