дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах

Сравнение бесконечно малых

Определение 2.16 Пусть фиксирована некоторая база $ \mathcal{B}$ и на некотором её окончании $ E$ заданы две функции $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$, бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$. Предположим также, что $ \psi(x)\ne0$ при всех $ x\in E$. Пусть существует
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L.$
Если $ L\ne0$, то бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что и $ \psi(x)$. Этот факт обозначается так:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$
Если же $ L=0$, то $ {\varphi}(x)$ имеет больший порядок малости, чем $ \psi(x)$. Это обозначается так:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$

Заметим, что если $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$, то для всех $ x$ из некоторого окончания $ E'$ базы $ \mathcal{B}$ будет выполнено неравенство $ {\varphi}(x)\ne0$. Это сразу следует из того, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L\ne0.$

Предложение 2.2 Если при базе $ \mathcal{B}$ бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что $ \psi(x)$, то и $ \psi(x)$ имеет тот же порядок малости, что $ {\varphi}(x)$, то есть
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)... ...htarrow \quad\psi(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$(S)

Если две бесконечно малых $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$ одного порядка малости, и две бесконечно малых $ \psi(x)$ и $ \chi(x)$ тоже одного порядка малости при базе $ \mathcal{B}$, то две величины $ {\varphi}(x)$ и $ \chi(x)$ также имеют один и тот же порядок малости при базе $ \mathcal{B}$, то есть
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)... ...htarrow \quad{\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\chi(x).$(T)

Кроме того, бесконечно малая величина $ {\varphi}(x)\ne0$ имеет тот же порядок малости, что она же сама:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$(R)

Доказательство. Поскольку $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}= \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac {1} {\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}} =L\ne0,$ то $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}=\dfrac{1}{L}\ne0$, откуда следует первое из доказываемых утверждений.

Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\chi(x)}= \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}=L\cdot M\ne0,$

где

$\displaystyle M=\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}\ne0$

по условию предложения.

Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}(x)}=1\ne0.$

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$, заданное в множестве бесконечно малых при данной базе $ \mathcal{B}$ величин $ {\varphi}(x),\psi(x),\chi(x),\dots$, является рефлексивным, транзитивным и симметричным.

Рефлексивность какого-либо отношения $ \sim$, заданного в некотором множестве объектов $ {\varphi},\psi,\chi,\dots$, означает, что выполнено свойство
(R): $ {\varphi}\sim{\varphi}$,
транзитивность-- что выполнено свойство
(T): $ {\varphi}\sim\psi,\ \psi\sim\chi\quad\Longrightarrow \quad{\varphi}\sim\chi$,
а симметричность-- что выполнено свойство
(S): $ {\varphi}\sim\psi\quad\Longrightarrow \quad\psi\sim{\varphi}$.

Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение $ \sim$ разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом $ {\varphi}$ попадают все объекты $ \psi$, для которых $ \psi\sim{\varphi}$.

Поэтому все бесконечно малые при данной базе $ \mathcal{B}$ величины разбиваются на классы по отношению $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$, в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;