Ядерное оружие | Теория атома Срочно продаю 2-х ком. квартиру - москва купить квартиру. Хотите купить квартиру? | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | хочу познакомиться с девушкой любящей носить лосины Средства доставки | Разное | Фотоальбом Выбираем столешницу для кухни: гранитная столешница. Столешницы в Москве. | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия

Угол между плоскостями

Пусть плоскости $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ заданы соответственно уравнениями $ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку $ M$ на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры $ l_1$ и $ l_2$ к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ с началами в точке $ M$ (рис. 11.6).




Рис.11.6.Угол между плоскостями


Если через точку $ M$ провести плоскость $ \Pi$ , перпендикулярную линии пересечения плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ , то прямые $ l_1$ и $ l_2$ и изображения векторов $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости $ \Pi$ (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).




Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый





Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой


В одном варианте (рис. 11.7) $ {{\varphi}+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ и $ {\psi+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ , следовательно, угол $ \psi$ между нормальными векторами равен углу $ {\varphi}$ , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ .

Во втором варианте (рис. 11.8) $ {\gamma}={\varphi}$ , а угол $ \psi$ между нормальными векторами равен $ \pi-{\gamma}$ . Так как

$\displaystyle \cos\psi=\cos(\pi-{\gamma})=-\cos{\gamma},$

то в обоих случаях $ {\vert\cos\psi\vert=\cos{\varphi}}$ .

По определению скалярного произведения $ {\bf n}_1{\bf n}_2=\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert \cos\psi$ . Откуда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf n}_1{\bf n}_2}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}$

и соответственно

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}_1{\bf n}_2\vert}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}.$(11.4)


Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула(11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

$\displaystyle {\bf n}_1{\bf n}_2=0.$(11.5)


Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

$\displaystyle {\bf n}_1=t{\bf n}_2,$(11.6)


где $ t$ -- любое число.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы