дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах


Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

        Определение 2.13   Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и имеет следующее свойство:
для любого, как угодно большого, положительного числа $ N$ можно найти такое окончание $ E_N$ базы $ \mathcal{B}$, что при любом $ x\in E_N$ будет выполнено неравенство
$\displaystyle \vert f(x)\vert>N.$

Рис.2.29.Бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$

Тогда функция $ f(x)$ называется бесконечно большой при базе $ \mathcal{B}$; это обозначается так:
$\displaystyle \vert f(x)\vert\xrightarrow {\mathcal{B}}+\infty,$
или так:
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\vert f(x)\vert=+\infty,$
или даже так:
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f(x)=\infty.$
Если при этом $ f(x)>N$ при $ x\in E_N$, то для положительной бесконечно большой $ f(x)$ можно писать $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}+\infty$ или $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=+\infty$, а если $ f(x)<-N$, то для отрицательной бесконечно большой $ f(x)$ можно писать $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}-\infty$ или $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=-\infty$.     

Нужно, конечно, чётко осознавать, что предел, равный бесконечности, -- это чисто условная запись и что в этом случае никакого числового значения такой предел не имеет и, следовательно, не существует, в смысле определения предела функции.

        Пример 2.24   Примером бесконечно большой при $ {x\to+\infty}$ может служить $ {f(x)=x}$: в качестве окончания $ E_N$ можно тогда взять $ {(N;+\infty)}$. Очевидно, что тогда $ {f(x)=x>N}$, если $ {x\in E_N=(N;+\infty)}$.
Рис.2.30.График $ y=x$

    
        Пример 2.25   Примером положительной бесконечно большой при $ x\to0$ может служить $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$.
Рис.2.31.График $ y=\dfrac{1}{x^2}$

В качестве упражнения найдите зависимость числа $ {\delta}>0$, задающего окончание $ (-{\delta};0)\cup(0,{\delta})$ базы $ x\to0$, от числа $ N$.     
      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности эротика София Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;