дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах

Общие свойства пределов

Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве) Пусть при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ выполняется неравенство $ {f_1(x)\leqslant f_2(x)}$. Предположим, что существуют пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)=L_1$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2$. Тогда $ L_1\leqslant L_2$ (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства $ \geqslant $.
Доказательство. Рассмотрим функцию $ g(x)=f_2(x)-f_1(x)$. По условию теоремы, $ g(x)\geqslant 0$, причём
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)= \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)-\lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2-L_1.$
Применим к функции $ g(x)$ теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что $ L_2-L_1\geqslant 0$, то есть $ L_2\geqslant L_1$, что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.
Замечание 2.6 Аналогичные утверждения для строгих неравенств ($ >$ и $ <$) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел $ \lim\limits_{x\to0+}x$. Очевидно, он равен 0, хотя при любом $ x$ из любого окончания $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$ величина $ f(x)=x$ строго положительна.

Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0


Напомним, что функция $ f(x)$ называется не убывающей на множестве $ {A\sbs\mathbb{R}}$, если для любых $ {x_1,x_2\in A}$, таких что $ {x_1<x_2}$, выполняется неравенство $ {f(x_1)\leqslant f(x_2)}$, и невозрастающей на $ A$, если при $ {x_1,x_2\in A}$ и $ {x_1<x_2}$ выполняется неравенство $ {f(x_1)\geqslant f(x_2)}$.
Теорема 2.13(о пределе монотонной функции) Пусть рассматривается одна из баз $ n\to\infty$, $ x\to+\infty$, $ x\to x_0-$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\leqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\leqslant C$.

Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции


Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел $ \{C\}$, где числа $ C$ ограничивают функцию $ f(x)$ сверху, существует точная нижняя грань $ L=\inf\{C\}$; она-то и будет пределом неубывающей функции.
Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 или С.М.Никольский, Курс математического анализа, т.1.
Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты $ t=-x$:
Следствие 2.8 Пусть рассматривается одна из баз $ {n\to\infty}$, $ {x\to+\infty}$, $ {x\to x_0-}$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании$ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная$ C$, что $ {f(x)\geqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём $ {L\geqslant C}$.

Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции


Следствие 2.9 Пусть рассматривается одна из баз $ x\to-\infty$, $ x\to x_0+$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\geqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\geqslant C$.

Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции


Следствие 2.10 Пусть рассматривается одна из баз $ {x\to-\infty}$, $ {x\to x_0+}$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании$ E$ базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная$ C$, что $ {f(x)\leqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём $ {L\leqslant C}$.

Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции

 

 

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;