Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах

Общие свойства пределов

В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

Теорема 2.8 Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$
Тогда функция $ h(x)=f(x)+g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен сумме пределов слагаемых:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)+\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1+L_2=L.$

Доказательство. Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$-- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$-- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$-- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

$\displaystyle {\alpha}(x)+{\beta}(x)=(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)=h(x)-L$

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность $ h(x)-L$ бесконечно мала, означает, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.

Замечание 2.2 В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть $ f(x)=x$ и $ g(x)=-x$. Тогда $ f(x)+g(x)=0$ и предел $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)+g(x))=0$, в то время как пределы при $ x\to\pm\infty$ функций $ f(x)$ и $ g(x)$ не существуют.
Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.

Теорема 2.9 Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$
Тогда функция $ h(x)=f(x)g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен произведению пределов сомножителей:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)\cdot\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1L_2=L.$

Доказательство. Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$-- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$-- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$-- бесконечно малая. Поэтому $ f(x)=L_1+{\alpha}(x)$ и $ g(x)=L_2+{\beta}(x)$, откуда

$\displaystyle f(x)g(x)=(L_1+{\alpha}(x))(L_2+{\beta}(x))=L_1L_2+L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x)$

или

$\displaystyle f(x)g(x)-L_1L_2=L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x).$

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина $ L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)$-- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина $ {\alpha}(x){\beta}(x)$-- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина $ {\beta}(x)$ имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией $ h(x)=f(x)g(x)$ и постоянной $ L=L_1L_2$ бесконечно мала при базе $ \mathcal{B}$, то по теореме 2.4 $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Для тех, кто любит музыку - клубная музыка 2010 скачать бесплатно . Музыка ЛЕТА.Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Качественная авторская аэрография - аэрография на машинах .Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы