дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах


Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.10 При базе $ x\to+\infty$ рассмотрим две бесконечно малых величины: $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ {\beta}(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Вместе с ними и величина $ {\gamma}(x)=\dfrac{1+x}{x^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ тоже является бесконечно малой при базе $ x\to+\infty$.

Докажем теперь, как следствие из предыдущей теоремы, утверждение о том, что бесконечно малой является сумма не только двух, но любого числа бесконечно малых величин.

Следствие 2.1 Пусть $ {\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$-- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$, $ {n\geqslant 2}$. Тогда величина

$\displaystyle {\beta}_n(x)={\alpha}_1(x)+{\alpha}_2(x)+\ldots+{\alpha}_n(x)$
также является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Доказывать утверждение теоремы мы будем по индукции по числу слагаемых. Для двух слагаемых это утверждение верно по теореме 2.5. Пусть утверждение верно для $ n-1$ слагаемых; это означает, что величина $ {\beta}_{n-1}(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}(x)$ бесконечно мала. Покажем, что тогда оно верно и для $ n$ слагаемых. По условию бесконечно мала также величина $ {\alpha}_n(x)$ и, значит, по теореме 2.5 бесконечно мала сумма этих двух бесконечно малых $ {{\beta}_{n-1}(x)+{\alpha}_n(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}+{\alpha}_n(x)={\beta}_n(x)}$. Тем самым шаг индукции сделан и утверждение доказано для произвольного числа слагаемых $ n$.

В дальнейшем нам часто будет нужно рассматривать функции, которые не превосходят некоторой постоянной на некотором окончании данной базы. Дадим им следующее название.

Определение 2.10 Функция $ f(x)$ называется локально ограниченной при базе $ \mathcal{B}$, если она определена на некотором окончании $ E_0$ этой базы и существует такая постоянная $ K$, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $ x\in E_0$.

Рис.2.17.Локально ограниченная величина при базе $ x\to x_0$


Пример 2.11 Любая постоянная величина $ C$ локально ограничена при любой базе. Действительно, в качестве ограничивающей постоянной $ K$ достаточно взять $ K=\vert C\vert$; тогда условие $ \vert C\vert=K\leqslant K$ верно для $ x$ из любого окончания $ E$ любой базы $ \mathcal{B}$.

Докажем следующее утверждение, имеющее вспомогательный характер для дальнейшего.

Предложение 2.1 Пусть при данной базе $ \mathcal{B}$ две функции $ f(x)$ и $ g(x)$ являются локально ограниченными. Тогда и их произведение тоже локально ограничено при этой базе.

Доказательство. Из условия следует, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K_1$ при $ x\in E_1$ и $ \vert g(x)\vert\leqslant K_2$ при $ x\in E_2$, где $ K_1,K_2$-- некоторые постоянные и $ E_1,E_2$-- некоторые окончания базы $ \mathcal{B}$. Возьмём окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$; при $ x\in E_3$ будут выполнены оба неравенства и, следовательно,

$\displaystyle \vert f(x)g(x)\vert=\vert f(x)\vert\,\vert g(x)\vert\leqslant K_1K_2.$

Это означает, что постоянная $ K=K_1K_2$ служит ограничивающей постоянной для произведения $ f(x)g(x)$ на окончании $ E_3$, то есть это произведение локально ограничено при базе $ \mathcal{B}$.

Локальная ограниченность функции не означает, что она ограничена на всей своей области определения. Например, функция $ f(x)=x$ локально ограничена при базе $ x\to0$, но не является ограниченной функцией при всех $ x\in\mathbb{R}$. Если в качестве базы рассматривается $ x\to x_0$, то локальная ограниченность функции при этой базе означает, что функция ограничена в некоторой, быть может, достаточно малой, окрестности точки$ x_0$.

Теорема 2.6 Пусть функция $ f(x)$ имеет предел при базе $ \mathcal{B}$. Тогда эта функция локально ограничена при этой базе.

Доказательство. Пусть $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$; это означает, что при любом $ {\varepsilon}>0$ (возьмём, например, $ {\varepsilon}=1$) найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ для любого $ x\in E$. Тем самым, при $ {\varepsilon}=1$ выполнено двойное неравенство $ -1+L<f(x)<1+L$.

Выберем из двух чисел $ -1+L$ и $ 1+L$ число с большей абсолютной величиной и обозначим его $ K$: $ K=\max\{\vert-1+L\vert,\vert 1+L\vert\}$. Тогда, очевидно, из последнего неравенства следует, что $ \vert f(x)\vert<K$; это означает, что функция $ f(x)$ локально ограничена.

В частности, локально ограничены при базе $ \mathcal{B}$ все бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$, так как все они, по определению, имеют предел (равный 0).


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;