дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах


Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.9 Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$-- бесконечно малая при $ x\to+\infty$, $ x\to-\infty$ и при $ x\to\pm\infty$. Для того, чтобы это доказать, достаточно для любого $ {\varepsilon}>0$ указать окончание $ \vert x\vert>a$ базы $ x\to\pm\infty$, на котором выполняется неравенство $ \left\vert\dfrac{1}{x}\right\vert<{\varepsilon}$. При $ \vert x\vert>a=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$, очевидно, неравенство выполняется. Это означает, что $ \dfrac{1}{x}\xrightarrow {x\to\pm\infty}0$.

Докажем теперь теорему, связывающую бесконечно малые с величинами, имеющими произвольное значение предела.

Теорема 2.4 Функция $ f(x)$ имеет при базе предел, равный $ L$, тогда и только тогда, когда величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L$ является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f(x)=L\quad\Longleftrightarrow \quad{\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0.$

Доказательство. Согласно определению предела, равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ означает, что для любого $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое окончание $ E\in\mathcal{B}$, что

$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при всех $\displaystyle x\in E.$(2.1)


Условие $ {\alpha}(x)=f(x)-L\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что для любого $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое окончание $ E\in\mathcal{B}$, что

$\displaystyle \vert(f(x)-L)-0\vert<{\varepsilon}$ при всех $\displaystyle x\in E.$


Но это, очевидно, то же, что формула (2.1).

Теперь обратимся к свойствам, касающимся собственно бесконечно малых.

Теорема 2.5 Пусть $ {\alpha}(x)$ и $ {\beta}(x)$-- бесконечно малые при одной и той же базе $ \mathcal{B}$. Тогда и их сумма $ {\gamma}(x)={\alpha}(x)+{\beta}(x)$-- тоже бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство.Пусть фиксировано некоторое число $ {\varepsilon}>0$. Рассмотрим положительное число $ \dfrac{{\varepsilon}}{2}$. Условие $ {\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что найдётся такое окончание $ E_1\in\mathcal{B}$, на котором $ \vert{\alpha}(x)\vert$ меньше этого положительного числа: $ \vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ при всех $ x\in E_1$.

Точно так же, условие $ {\beta}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что найдётся такое окончание $ E_2\in\mathcal{B}$, на котором $ \vert{\beta}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ при всех $ x\in E_2$. По определению базы, она содержит некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$. Так как $ E_3$-- часть как $ E_1$, так и $ E_2$, то оба неравенства выполняются при $ x\in E_3$. Тогда при $ x\in E_3$ будет

$\displaystyle \vert{\gamma}(x)\vert=\vert{\alpha}(x)+{\beta}(x)\vert\leqslant ... ...\beta}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}+\dfrac{{\varepsilon}}{2}={\varepsilon}.$

Итак, при произвольно заданном $ {\varepsilon}>0$ мы предъявили такое окончание $ E_3\in\mathcal{B}$, на котором выполняется неравенство $ \vert{\gamma}(x)\vert<{\varepsilon}$. Это означает, что $ {\gamma}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$, то есть что $ {\gamma}(x)$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;