дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Пример 2.7 Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$. Интуитивно ясно, что когда $ x$ приближается к1, то и $ t=x^2$ тоже будет приближаться к1, причём "ловушки" предыдущего примера здесь нет: так как при $ x\geqslant 0$ функция $ x^2$ возрастает, то при $ x<1$ и близких к1 будет получаться $ t<1$, близкое к1, а при $ x>1$ и близких к1 будет получаться $ t>1$, близкое к1. Поэтому должна бы, вроде, при такой замене получиться база $ t\to1$. Однако и это не вполне так. Глядя на следующий чертёж, можно заметить, что образ окончания $ (1-{\delta}1+{\delta})\diagdown \{1\}$-- это множество
$\displaystyle ((1-{\delta})^2(1+{\delta})^2)\diagdown \{1\}=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2).$
Эти два интервала, примыкающие к точке 1 слева и справа, имеют разную длину: левый имеет длину $ 2{\delta}-{\delta}^2$, а правый-- длину $ 2{\delta}+{\delta}^2$, то есть левый короче правого на $ 2{\delta}^2$.
Рис.2.15.График $ t=x^2$ и преобразование базы $ x\to1$


Однако по определению базы $ t\to1$ окончания этой базы состоят из пары примыкающих к точке 1 симметричных интервалов! Так что формально получилась не база $ t\to1$, а нечто на неё похожее, но не совсем то же самое.

На самом деле получившаяся в этом примере после замены база $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$ эквивалентна базе $ t\to1$ в смысле следующего определения.

Определение 2.8 Две базы $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'$ назовём эквивалентными, если в любом окончании $ {E\in\mathcal{B}}$ содержится некоторое окончание $ {E'\in\mathcal{B}'}$, и наоборот, в любом окончании $ {E'\in\mathcal{B}'}$ содержится некоторое окончание $ {E''\in\mathcal{B}}$.

Базы $ {\mathcal{B}=\{t\to1\}}$ и $ {\mathcal{B}'={\varphi}(x\to1)}$, рассмотренные в предыдущем примере, эквивалентны, так как любое несимметричное окончание базы $ \mathcal{B}'$, имеющее, как мы выяснили, вид $ {E'=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2)}$, содержится в симметричном окончании $ {E=(1-2{\delta}-{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2)}$ и содержит симметричное окончание $ {E''=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}-{\delta}^2)}$ базы $ \mathcal{B}$.

Пределы, вычисленные по эквивалентным базам, совпадают, так что эквивалентные базы нет смысла отличать друг от друга. В этом мы убедимся, доказав следующую теорему.

Теорема 2.3 Пусть $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'$-- две эквивалентные базы, и существует $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$. Тогда предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L'}$ тоже существует, и $ L'=L$.

Доказательство. Пусть фиксировано число $ {\varepsilon}>0$. Так как по предположению теоремы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, то для этого $ {\varepsilon}$ можно указать такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, при любом $ x$ из которого будет $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. Поскольку база $ \mathcal{B}'$ эквивалентна базе $ \mathcal{B}$, найдётся окончание $ E'\in\mathcal{B}'$, такое что $ E'\sbs E$ следовательно, $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при любом $ x\in E'$. Значит, $ \lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L$, что и требовалось доказать.

Итак, вычисление пределов по эквивалентным базам даёт один и тот же результат, и в дальнейшем мы не будем различать эквивалентные базы, в том числе и при их обозначении. В частности, все базы, эквивалентные введённой выше базе $ x\to x_0$, мы будем тоже обозначать $ x\to x_0$, все базы, эквивалентные введённой выше базе $ n\to\infty$,-- обозначать $ n\to\infty$, ит.п.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;