дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2x+2\sin x+1}{\sin^2x-\sin x+2}.$

Тогда естественно с целью упрощения сделать замену $ s=\sin x$: при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид $ f(s)=\dfrac{s^2+2s+1}{s^2-s+2}$. Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо $ x\to-\frac{\pi}{2}$ под знаком предела от функции $ f(s)$?

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену $ t={\varphi}(x)$, при этом исходный предел вычислялся при базе $ \mathcal{B}$, состоящей из некоторых окончаний $ E$. Тогда база множеств, которым принадлежит параметр $ t$, будет состоять из образов окончаний $ E$ при отображении их функцией $ {\varphi}(x)$: надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции $ {\varphi}$. Получится набор множеств $ {\varphi}(\mathcal{B})=\{{\varphi}(E)\}=\mathcal{B}'$, где множества $ {\varphi}(E)$ состоят из всех таких точек $ t$, что $ t={\varphi}(x)$ при некотором $ x\in E$.

Рис.2.12.Преобразование базы $ x\to x_0$ под действием функции $ {\varphi}(x)$

Теорема 2.2 Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и $ {\varphi}(x)$-- некоторая функция, определённая на каком-нибудь окончании базы $ \mathcal{B}$. Тогда множество $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$-- это тоже база.

Доказательство. Во-первых, все множества $ E'={\varphi}(E)$ не пусты, так как не пусты множества $ E$: если $ x\in E$, то $ E'$ содержит, по крайней мере, точку $ {\varphi}(x)$. Осталось показать, во-вторых, что если $ E_1'={\varphi}(E_1)$ и $ E_2'={\varphi}(E_2)$ (где $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$)-- два множества из $ \mathcal{B}'$, то найдётся такое множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$ ( $ E_3\in\mathcal{B}$), что $ E_3'\sbs E_1'\cap E_2'$. Множество $ E_1'\cap E_2'={\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)$, по определению, состоит из всех точек $ {\varphi}(x)$, где $ x\in E_1$ и $ x\in E_2$ одновременно, то есть $ x\in E_1\cap E_2$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$ (такое окончание найдётся, по определению базы $ \mathcal{B}$) и соответствующее множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$. Тогда все значения $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_3$ будут среди значений $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_2\cap E_3$, то есть $ {\varphi}(E_3)=E_3'\sbs{\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)=E_1'\cap E_2'$, что и требовалось показать.

Иногда получается, что если $ \mathcal{B}$-- одна из знакомых нам рассмотренных выше баз, то и $ {\varphi}(\mathcal{B})=\mathcal{B}'$-- это тоже база известного типа.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;