дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Высшая математика в задачах


Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример 2.2 Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.
Рис.2.4.Последовательность $ \dfrac{1}{n^2}$


Фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и подберём число $ N$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ так, чтобы при $ n>N$ выполнялось неравенство $ \vert y_n-0\vert<{\varepsilon}$, то есть $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при $ n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$. Значит, достаточно выбрать в качестве $ N$ натуральное число, ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$ справа на вещественной оси, то есть $ N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil$, и тогда при любом $ n>N$ неравенство $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$ будет верным. Это означает, что
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,$
или $ \dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0$.

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

Определение 2.3 Предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$.
Определим окрестности бесконечности как множества точек $ x$, заданные неравенствами $ x>a$, то есть лучи $ (a;+\infty)$. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$ точки $ y_0$ можно было найти такую окрестность бесконечности $ (a_{{\varepsilon}};+\infty)$, что при попадании $ x$ в эту окрестность, то есть при $ x>a_{{\varepsilon}}$, соответствующее значение $ y=f(x)$ попадает в заданную вначале окрестность точки $ y_0$, то есть выполняется неравенство $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$. Выполнение этого требования будет означать, что $ y_0$-- предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$, то есть
$\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

Рис.2.5.Предел при $ x\to+\infty$


Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде
$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.$

Пример 2.3 Покажем, что предел функции $ f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $ x\to+\infty$ равен числу 3.
Рис.2.6.График функции $ y=\dfrac{3x-2}{x+1}$


Фиксируем $ {\varepsilon}>0$ и подберём по этому числу $ {\varepsilon}$ такое число $ a$, что при любом $ x>a$ выполняется неравенство
$\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.$
Сразу будем считать, что $ a$-- неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде $ \left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}$ или $ \vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$. Так как $ x>a\geqslant 0$, то $ x+1>0$ и неравенство имеет вид $ x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$, откуда $ x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$. Если теперь взять число $ a_{{\varepsilon}}$ равным $ \dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$ (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при $ x>a_{{\varepsilon}}$ будет выполняться неравенство $ \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}$; это означает, что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,$
или $ \dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3$.

Упражнение 2.1 Опираясь на свою интуицию и здравый смысл, сформулируйте определение предела функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow -\infty$. Для этого ответьте на предварительный вопрос: какие множества естественно назвать окрестностями $ -\infty$?
Рис.2.7.Предел при $ x\to-\infty$


Пользуясь этим определением, покажите, что $ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3x+2}{2x-5}=\dfrac{3}{2}$.

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;