дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия

Упражнения

Упражнение 1.6 Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.

Упражнение 1.7 Вспомните материал школьного курса математики и постройте графики следующих функций. Найдите области определения и области значений этих функций.
а) $ f(x)=\sin 2x$;

б) $ f(x)=\cos x+3$;

в) $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2})$;

г) $ f(x)=x^2+4x+5$;

д) $ f(x)=x^3+1$;

е) $ f(x)=\sqrt[5]{x}$;

ж) $ f(x)=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$;

з) $ f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}$;

и) $ f(x)=3^{x-2}$;

к) $ f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$;

л) $ f(x)=\log_2(x-1)$;

м) $ f(x)=2^{3x-1}$;

н) $ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$.

Ответы:
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\;\mathcal{E}(f)=[2;4]$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\pi+2k\pi\},\;\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[1;+\infty)$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[0;\pi]$;
з) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;
и) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\}$;
л) $ \mathcal{D}(f)=(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
м) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
н) $ \mathcal{D}(f)=(-1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$.

Упражнение 1.8 Найдите области определения и области значений следующих функций:
а) $ f(x)=-x^2+6x-5$;
б) $ f(x)=\cos2x+3\sin2x$;
в) $ f(x)=\dfrac{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}$;
г) $ f(x)=\dfrac{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}$;
д) $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}$;
е) $ f(x)=\sin(\arcsin x)$;
ж) $ f(x)=\arcsin(\sin x)$;
з) $ f(x)=2^{\log_2x}$;
и) $ f(x)=(\sqrt{x})^2$;
к) $ f(x)=\sqrt{x^2}$;
л) $ f(x)=\sqrt{-x^2}$;
м) $ f(x)=\sqrt{4-x^2}$.
Какие из этих функций из области $ \mathcal{D}(f)$ в область $ \mathcal{E}(f)$ являются биекциями?
Ответы:
Биекциями являются функции пп. е), з), и), л), пpичём все эти четыpе функции-- тождественные отобpажения:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathcal{E}(f); f=f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits : \mathcal{D}(f)\to\mathcal{D}(f)$
пpи соответствующих областях $ \mathcal{D}(f)$. Все остальные функции-- не биекции.
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;4)$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\sqrt{10};\sqrt{10}]$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ (заметим, что $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits 2x$ пpи $ x\in\mathcal{D}(f)$.
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{k\pi}{2}\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$;
е) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;
з) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
и) $ \mathcal{D}(f)=[0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
л) $ \mathcal{D}(f)=\{0\},\; \mathcal{E}(f)=\{0\}$;
м) $ \mathcal{D}(f)=[-2;2],\; \mathcal{E}(f)=[0;2]$.

Упражнение 1.9 Постройте графики функций:
а) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x,&\mbox{ при }x<0,\\ -x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}

б) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt[3]{x},&\mbox{ при }x<0,\\ x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}

в) $ f(x)=\ln\vert x\vert$;

г) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x+1\vert,&\mbox{... ...1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0,\ x\ne1; \end{array} \right.\end{displaymath}

д) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x-1\vert,&\mbox{... ...\vert x+1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}

е) $ f(x)=\max\limits_{z\in[x-1;x+1]}(z^3-3z)$;

ж) $ f(x)=\log_{\vert x\vert}\dfrac{1}{2}$;

з) $ f(x)=\log_{\frac{1}{x}}x$; p class=pic>

и) $ f(x)=2^{\vert\log_2x\vert+1}$.
Найдите области опpеделения и области значений этих функций. Какие из этих функций $ f: \mathcal{D}(f)\to\mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Если $ f$-- биекция, найдите обратную функцию $ f^{-1}$ и постройте её график.
Ответы:
Биекцией является только функция п.б), пpи этом $ f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ пpи }x<0;\\ \sqrt[3]{x},&\mbox{ пpи }x\geqslant 0. \end{array}\right.$
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;0]$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$;
з) $ \mathcal{D}(f)=(0;1)\cup(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\{1\}$;
и) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[2;+\infty)$.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;