дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия

Основные обозначения и определения Обратная функция

Пример 1.22 Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $ \arccos$ или $ \cos^{-1}$). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок $ [0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):
$\displaystyle \arccos:[-1;1]\to[0;\pi],$
$\displaystyle {\varphi}=\arccos x,$ если $\displaystyle \cos{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[0;\pi].$

Рис.1.32.Главная ветвь косинуса

Пример 1.23 Функция арктангенс (обозначается $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $, или $ \mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$, или $ \tan^{-1}$)-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал $ (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, то есть обратная к главной ветви тангенса:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits x=\mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}x,\ x\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$
Так как $ \mathop{\rm tg}\nolimits \vert _{(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})}:(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}$-- это биекция, то обратная функция определена при всех $ x\in\mathbb{R}$:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits :\mathbb{R}\to(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {\varphi}=\mathop{\rm arctg}\nolimits x,$ если $\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$

Рис.1.33.Главная ветвь тангенса

Упражнение 1.4 Дайте определение функции арккотангенс (обозначается $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $), рассмотрев главную ветвь котангенса-- ограничение функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ на интервал $ (0;\pi)$.

Упражнение 1.5 Вспомните или выведите простые соотношения, которым удовлетворяют значения функций:
а) $ \arcsin x$ и $ \arccos x$;
б) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$.

График обратной функции $ f^{-1}$ получается из графика исходной функции $ f$, если у каждой точки $ (a;b)$ графика $ {\Gamma}_f$ поменять местами координаты $ a$ и $ b$:

$\displaystyle {\Gamma}_{f^{-1}}=\{(b;a):(a;b)\in{\Gamma}_f\}\sbs B\times A,$

так как $ {\Gamma}_f$ состоит из таких точек $ (a;b)\in A\times B$, что $ b=f(a)$, а $ {\Gamma}_{f^{-1}}$-- из таких точек $ (b;a)\in B\times A$, что $ a=f^{-1}(b)$; но, согласно определению обратной функции, равенства $ b=f(a)$ и $ a=f^{-1}(b)$ эквивалентны.

В случае, когда $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$, перестановка координат $ (a;b)\mapsto(b;a)$ геометрически может быть описана как преобразование симметрии относительно прямой $ b=a$, то есть относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Рис.1.34.Симметричные точки графиков функций $ f$ и $ f^{-1}$

Значит (в случае $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$), графики $ {\Gamma}_f$ и $ {\Gamma}_{f^{-1}}$ симметричны относительно этой биссектрисы, если ось, по которой откладываются значения аргумента функции, каждый раз размещать горизонтально.

Рис.1.35.Графики взаимно обратных функций расположены симметрично

Пример 1.24 Согласно с последним замечанием, мы легко построим теперь графики обратных тригонометрических функций $ \arcsin,\ \arccos,\ \mathop{\rm arctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $:
Рис.1.36.Графики главной ветви $ \sin$ и $ \arcsin$
Рис.1.37.Графики главной ветви $ \cos$ и $ \arccos$
Рис.1.38.Графики главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $
Рис.1.39.Графики главной ветви $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;