дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия

Основные обозначения и определения Обратная функция

Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы.

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$. Таким образом,

$\displaystyle f^{-1}:B\to A,\quad f^{-1}(y)=x\quad\Longleftrightarrow \quad f(x)=y,\ x\in A, y\in B.$

Очевидно, что согласно определению мы имеем тождество $ f^{-1}(f(x))=x$, то есть композиция $ f^{-1}\circ f$-- это тождественное отображение $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A:A\to A$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A(x)=x$ для любого $ x\in A$. Точно так же $ f(f^{-1}(y))=y$, то есть $ f\circ f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B:B\to B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B(y)=y$, если $ y\in B$.

Последнее утверждение означает, что функция, обратная к $ f^{-1}$, равна $ f$: $ (f^{-1})^{-1}=f$, то есть что функции $ f$ и $ f^{-1}$-- это две взаимно обратные функции.

Пример 1.21 Если $ f$-- ограничение функции $ \sin$ на отрезок $ [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $ f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$-- биекция.

Рис.1.31.Главная ветвь синуса



Поэтому существует обратная функция $ f^{-1}$, называемая арксинусом и обозначаемая $ \arcsin$ или $ \sin^{-1}$ (второе обозначение употребляется в англоязычной математической и инженерной литературе). Таким образом,
$\displaystyle \arcsin:[-1;1]\to[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}],$
$\displaystyle {\varphi}=\arcsin x,$ если $\displaystyle \sin{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$



Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;