Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры

Линейные пространства и преобразования

Системы линейных уравнений

Правило Крамера

Пример   Решите систему уравнений

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Теорема Кронекера-Капелли

Однородная система уравнений

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

• Примеры
• Найдите общее решение системы уравнений
• Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

Группы

Пример

Кольца

Пример

Поля

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры

Базис и размерность пространства

 Теорема В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

Координаты векторов

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пример

Евклидово пространство

Пример

Аффинное -мерное пространство

Линейные преобразования

Определение и примеры

Пример

Упражнение Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой

Матрица линейного преобразования

Пример

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Собственные числа и собственные векторы

Пример

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

 Теорема   Пусть собственные векторы преобразования соответствуют собственным числам , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов является линейно независимой.

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Теорема

Пример   Приведите уравнение поверхности

Векторная алгебра

Определение вектора

Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.

        Определение 10.1   Вектором называется направленный отрезок.        

Таким образом, вектор -- это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: . В двух последних случаях  -- обозначение точки, являющейся началом вектора,  -- концом вектора. В тексте этого учебника будут использоватся первое и последнее из перечисленных обозначений.

Операции над векторами

Теорема Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства: (свойство коммутативности операции сложения);

Разложение вектора по базису

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора

Линейная зависимость векторов

Предложение Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима

Система координат и координаты вектора

Проекции вектора

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций

Скалярное произведение

Теорема   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами , , то

Векторное произведение

Теорема

Смешанное произведение

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Кривые и поверхности 2 порядка

Кривые второго порядка

Окружность

Эллипс

Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.

Гипербола

Парабола

Пример   Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

 Пример   Нарисуйте кривую и найдите ее фокусы.

Пример   Постройте кривую

Поверхности второго порядка

Сфера

Эллипсоид

Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Гиперболоиды

Определение   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

Конус

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Параболоиды

Определение  Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Цилиндры

Параллельный перенос системы координат

 Пример Нарисуйте поверхность .