Элементы теории поверхностей

 

Билет № 22.

Элементы теории поверхностей.

 

Опр. Отображение из плоскости в трехмерное пространство называется гомеоморфным, если

1) отображение является взаимнооднозначным

2) отображение является взаимнонепрерывным

  Образ любой фундаментальной последовательности в пространстве тоже фундаментальная последовательность и наоборот.

  Опр. Поверхность элементарная, если она является гомеоморфным отображением открытого круга (круг без внешней границы). Преобразования Лапласа Математика примеры решения задач

  Опр. Поверхность простая, если в любой точке этой поверхности существует такая эпсилон-окрестность, которая является элементарной поверхностью.

  Опр. Поверхность называется общей, если она является гомеоморфным отображением простой поверхности.

Равномерная сходимость ряда

 Опр.  Поверхность называется регулярной, если эту поверхность можно представить в параметрическом виде: x=x(U,V), y=y(U,V), z=z(U,V).

(Если поверхность задана явно z=f(x,y), то x=U, y=V, z=f(U,V)). Функции x, y, z в параметрическом задании k раз дифференцируемы (k>=1).

  Замечание: Если поверхность называется гладкой.

[an error occurred while processing this directive]

  Опр. Поверхность называется полной, если она содержит все свои предельные точки.

 Опр. Точка называется особой, если в этой точке нарушается условие гладкости поверхности, либо ранг матрицы из векторов x=x(U,V),  y=y(U,V), z=z(U,V) не равен 2.

  Пример:

 Пусть в пространстве есть некоторая поверхность Ф

 

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

 принадлежат касательной плоскости, следовательно  не должны быть параллельны, следовательно мы можем найти нормаль к поверхности.

  Чтобы найти нормаль к поверхности достаточно найти

  Единичная нормаль: 

  Опр. Лист Мебиуса – гладкая поверхность. Если начать двигаться от точки, то придем к ней только с обратной стороны (односторонняя поверхность).

  Поверхность называется двусторонней, если вернемся к той же точке, от которой начали двигаться.

 

Квадрируемость двусторонней поверхности

[an error occurred while processing this directive]

  Поверхность такая, что  касательная плоскость.

Возьмем  касательной плоскости: . Если при  для всех точек разбиения , то поверхность называется квадрируемой, а число  называется площадью этой поверхности.

  Пусть есть поверхность, заданная явно z=f(x,y) для  можно посчитать площадь. Если поверхность является гладкой, полной и ограниченной, без особых точек, то эта поверхность является квадрируемой и площадь поверхности может быть найдена по формуле: 

  Доказательство:

 

   

 

  из  - необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов, т.е. .

   В данной выбранной точке  является нормалью к нашей поверхности.

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

    

 

Теорема о квадрируемости в общем виде

  Если поверхность ограниченная, гладкая, полная, не имеет особых точек, эта поверхность задана параметрически x=x(U,V), y=y(U,V), z=z(U,V)

  В этом случае такая поверхность заведомо квадрируема и площадь этой поверхности равна 

  

  По определению  поверхности кусочков касательных плоскостей

 

если поверхность является гладкой, возьмем две нормали, находящиеся рядом, направляющие cos этих нормалей должны меняться гладко