Достаточные условия безусловного локального экстремума. Достаточные условия применительно к функции двух переменных

Билет № 2

Опр: Квадратичная форма – любое выражение вида  - называется знакоопределенным если либо , "x₁,x₂,…x_n :

Опр: Знакопеременная квадратичная форма: если в окрестности точки, где  "d_окр $

$

Опр: Квазизнакоопределенная квадратичная форма: если в "d_окр точки () все значения либо .

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Пример : - знакоопределенная

  (если y, z =0, "x),  L=0 – квази знакоопределенная форма

   - знакопеременная

Опр: 2-го дифференциала. 

Для 2-х переменных: 

Опр: Критерий Сильвестра.

Критерий Сильвестра: если все квадратичной формы строго >0, то такая квадратичная форма является знакоопределенной (положительно определенной)

Если    (- отрицательна !!!), то такая квадратичная форма является знакоопределенной. (отрицательно определенной)

  [an error occurred while processing this directive]

Достаточное условие точки локального экстремума.

1)     если в точки M₀ первый дифференциал равен 0, а второй является знакоопределенной квадратичной формой, то для дифференцируемой d_окр точки M₀ функции в точке M₀ имеется локальный max если квадрат второго дифференциала отрицательно определен, и min – если положительно определен.

2)     Если , - знакоопределенная квадратичная форма, а, в d_окр точки M₀ функция дифференцируема, то точка M₀ не является точкой локального экстремума.

3)     Если в точке M₀=0, если  в точке M₀ является квазиопределенной квадратичной формы, то ничего нельзя сказать.

Д-во: Приращение функции в точке M₀  

r - расстояние от точки M до M₀ 

- приращение конкретной переменной в точке  по отношению к M₀

1. положительна определена (то в M₀ локальный min)

[an error occurred while processing this directive]

сфера (замкнутое множество,  на не замкнутом множестве " фигура достигает своего max или min)

 - непрерывна на сфере и достигает max и min значения.

Max этой функции обязательно >0, min - <0/

Точка M₀ – точка локального min.