Двойной интеграл. Суммы Дарбу, свойства. Квадрируемость

 

Билет № 14

 

Разобьем область значений x на n значений:,

y на m значений:

 Матрицы Математика Примеры решения задач

сумма Дарбу.

Масштаб разбиения.

d_kl – диагональ маленького прямоугольника x_k y_l

масштабом разбиения называется максимальное значение по всем k и l

  Определение абсолютной сходимости ряда

Определение двойного интеграла по Риману.

Число I называется двойным интегралом по Риману функции f(x,y), заданной на прямоуг. П, если $ ,причем для " выбора точек e_i и h_j этот предел равен I.

Фиксируем некоторое разбиение:

Верхняя сумма Дарбу S

Если ,то

Если

Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману.

Нижняя сумма и верхняя сумма Дарбу должны стремиться к одному и тому же пределу. Если масштаб разбиения

Опр. Элем. телом по плоскости наз. конечное число прямоугольников стороны которых параллельны осям.

Опр. Квадрируемость. Если  для области D элем. тело описанное вокруг области D и элем. тело вписанное в обл. D такая что разность элем. тел меньше любого наперед заданного 

Опр. Тело на плоскости имеет 0-ую площадь если для  элем тело: все точки обл D принадлежат этому телу при этом площадь элем тела =

Опр. Функция f(x,y) обладает в обл D (огранич, замкнутая обл.) I свойством, если

 Эта функция ограничена

 Все точки разрыва принадлежат области с 0-ой площадью

Опр. Область называется замкнутой если она содержит все свои предельные точки.

М-предельная точка если окр. т. М.

Область D-ограничена и замкнута

Разделим ее на некоторые области

[an error occurred while processing this directive]

  

 

  - сумма Дарбу

Двойной интеграл по Риману для произвольной области

Масштабом обл. , где  

  масштаб всего разбиения

Функция f(x,y) интегрируема по Риману на обл. D (замкн. огранич) если все суммы Дарбу при  стремятся к одному и тому же числу I:

I) Если функция f(x,y) на огранич. замкн. области D обладает I свойством то она заведомо интегрируема по Риману.

II) Любая непрерывная функция интегрируема по Риману.

Основные свойства двойного интеграла

Опр. Область называется односвязной если любые две точки этой области могу быть соединены кривой все точки которой принадлежат этой обл.

1) свойство аддитивности

Если обл. D можно представить в виде суммы D1 и D2 где D1 и D2 – огранич. замкнут. односвяз. Не имеющие общих внутренних точек. D=D1+D2

 

+

2) линейность

если ,, то

3) площадь области D

4) f(x,y)>0   

 

  поверхность f(x,y) над D

 

Для вычисления площади S(D)  если объем - от уравнения поверхности Z=f(x,y)

5)

[an error occurred while processing this directive]

6) если

Замечание: обратное неверно так как если существует модуль то не обязательно существует двойной интеграл от ф-ции f

Пример  f=1 если x-рац.

  f=-1 если x-иррай.

Разрывна в интегрируема по Риману |f|≡1

7) Теорема о среднем.

I) Пусть на обл. D   g(x,y) – строго опред. Знака

=> всегда существует число А:   при этом

II) В случае если f(x,y) – непрерывна всегда найдется точка с координатами

Практич. подход к расчету двойного интеграла на прямоуг. плоскости.

П:

Теор. (о сведении двойного интегр к одинарному повторн.)

Пусть f (x,y) задана на П

 если , то существует повторный однократный интеграл

II. f(x,y) задана на П -зависящий от параметра то сущ. Одинарный повторный интеграл

Доказательство:

>f(x,y), разобьем П   n*m

  d

     c

 ,  a b

 общ.

  Пусть дана Д- область, ограничена и замкнута. f(x,y):

Любая прямая, параллельная оси У должна иметь только две точки пересечения границей D.

 Для любого X0 Y1(X0), Y2(X0) ; Y1(X0)  Y2(X0).

 

  =>  .

 

 

 

 

2) D f(x,y):  f(x,y)dxdy.

  Любая прямая параллельная OX имеет 2т. пересечения.

 

X1(Y0), X2(Y0), Для любого Y0  [c,d] .

 

X1(Y0)  X2(Y0).

 

 => 

Доказательство:

 

Существует прямоугольник П , определим новую функцию g(x).

 

 

 

 

 

 

Замечание: Приходится разбивать эту область на множество других областей, к которым можно применить теорему.