Основные теоремы о равномерно сходящихся по параметру интегралах

Теорема1. Пусть на прямоугольнике  задана функция - непрерывная. Несобственный интеграл , причем сходимость является равномерной по параметру . В этом случае - непрерывна на

Доказательство.

 - непрерывна

   

Функциональная последовательность - сходится равномерно, она непрерывнапо теореме о предельная функция является непрерывной, т.е. -непрерывна.

Ряды с положительными слагаемыми Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство 4, ).

 

  [an error occurred while processing this directive]

Теорема2.

 , -непрерывна.

 -непрерывна 

 -сходится, кроме того - сходится равномерно, то можно утверждать  -сходится, сходится равномерно и

Доказательство.

 попадает в условие теоремы 2 о сходимости функциональных рядов.

 

Теорема3.

- непрерывна, кроме того - сходится равномерно, тогда -является интегрируемой функцией на , т.е.  

Доказательство.

Разобьем интеграл на 2-а интеграла

 может быть сделано для всех