Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума

Билет № 1.

Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.

Опр: Пусть дана функция  n-переменных 

Пусть дана точка M₀ с координатами , точка M₀ называется локальным max(min) если $ d_окр точки M₀ : "x Îd_окр справедливо

( "x Î d_окр ), d_окр называется множество (в n мерном пространстве).

Пусть  – числовая последовательность, для  . Тогда символ , обозначающий последовательное суммирование членов числовой последовательности , называется числовым рядом. Критерий Коши (для числового ряда)

Опр: локального экстремума. Точка локального max или min называются точкой экстремума.

Необходимые условия экстремума функции многих переменных.

[an error occurred while processing this directive]

Опр: стационарной точки. Если функция дифференцируема в точке M₀ то необходимым условием существования экстремума в этой точке является требование ее стационарности: 

( , если  )

Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.

Д-во: Зафиксируем все переменные оставив только x₁,  

фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.

Опр: Необходимое условие экстремума.

В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль.

	Опр: дифференциала.

 

Если локальный экстремум , если  - независимы

Замечание: если выполнено необходимое условие экстремума то она не обязательно является экстремумом.

Истина: Если точка – стационарная , то она не обязательно – экстремум , ВООБЩЕ ГОВОРЯ !

Экстремум же всегда является стационарной точкой !

Пример :  (0,0), x>0, y>0 ® z>0,  x<0, y<0® z<0,  но dz =0.