Двоичные числа, биты и байты

Минимальной единицей информации в компьютерной технике является двоичная единица — бит. Она имеет представление в виде 0 или 1, удобное для реализации простейшими электронными схемами с двумя состояниями электрического равновесия (например, триггерами или иными ячейками памяти). Многоразрядные двоичные числа представляют собой набор цифр 0 и 1, например, 100110 или 111001. Каждый старший разряд относительно предыдущего имеет весовой коэффициент, равный 2.

Именно с битами работает микропроцессор на нижнем уровне операций. Однако бит — слишком мелкая единица, не очень удобная в обращении. К тому же мы привыкли к куда более удобным и наглядным для нас элементам информации, таким как буквы, цифры, знаки арифметических операций, спецзнаки и символы псевдографики. В принципе, набор этих знаков, минимально необходимый для представления обычной текстовой и цифровой информации, содержит до 2 ⁸ = 256 элементов. Каждый из них в компьютере представляется кодом от 0 до 255. Для задания таких кодов достаточно 8 бит (2^8=256), которые и образуют наиболее распространенную единицу представления информации — байт. 1024 байта образуют килобайт (Кбайт), 1024 Кбайт дают 1 Мбайт (мегабайт) и т. д.

Широко применяется общеизвестный стандарт кодирования текстовой информации ASCII (American Standard Code for Information Interchange).

[an error occurred while processing this directive]

Десятичные числа

К наиболее известным типам данных в математике относятся привычные нам десятичные числа (DECIMAL). Каждый разряд таких чисел имеет представление, заданное одной из арабских цифр — 0, 1, 2,..., 9. Весовой коэффициент старшего разряда относительно предшествующего равен 10. Количество цифр, представляющих число, может быть, в принципе, любым. Десятичные числа относятся к следующим основным типам.

Десятичные числа наиболее распространены в научно-технических расчетах.

Целые числа

Целочисленные данные (Integer) — это целые числа, например 1, 2 или 123, которые представляются системой без погрешности и ограничения разрядности. Более того, арифметические операции над целыми числами система выполняет также без погрешностей и без ограничения числа цифр (рис. 3.1).

[an error occurred while processing this directive]

Рис. 3.1. Операции с целыми числами

Количество цифр, представляющих большое целое число, ограничено лишь его значением, но не какими-либо фиксированными форматами. Рациональные данные задаются отношением целых чисел, например 123/567, и также представляют результат точно. Поэтому система при символьных и численных расчетах всегда старается выдать результат в виде целых или рациональных чисел, там где это возможно:

Фактически целые числа произвольной разрядности в системах символьной математики представляются списками отдельных цифр. Особая организация списков повышает компактность представления больших целых чисел. Характерным примером работы с целыми числами большой разрядности является вычисление факториала n!=1*2*3*. . . *n. Примеры его вычисления уже приводились (см. рис. 1.16).

Числа с произвольным основанием

Для вычисления чисел с произвольным основанием используется конструкция

Число должно быть записано по правилам записи чисел с соответствующим основанием. Если основание больше 10, для обозначения значений чисел используются буквы от а до z. Наиболее известными из чисел с основанием системы счисления, превышающим 10, являются шестнадцатеричные числа (HEX — от слова hexagonal). Разряды таких чисел могут иметь следующие значения:

Каждый более старший разряд имеет весовой коэффициент относительно предыдущего разряда, равный 16.

Примеры задания шестнадцатеричного и двоичного чисел:

Для представления чисел с произвольным основанием n (до 32) используется функция BaseForm[expr, n], которая возвращает выражение ехрг в форме числа с основанием n, которое указывается как подстрочный индекс.

Примеры использования функции BaseForm:

В дальнейшем мы будем использовать только десятичные числа.

Вещественные числа

Численные данные могут быть представлены также десятичными вещественными числами, которые могут иметь различную форму, например 123.456, 1.23456 10^2,12345.6 10^-2 и т. д. В общем случае они содержат мантиссу с целой и дробной частями и порядок, вводимый как степень числа 10. Как правило, вещественные числа в системах символьной математики могут иметь мантиссу с любым, но конечным числом знаков. Пробел между мантиссой и порядком эквивалентен знаку умножения *:

Как принято в большинстве языков программирования, целая часть мантиссы отделяется от дробной части точкой, а не запятой.

Mathematica производит операции с числами изначально как с целыми. Однако установка значка разделительной точки означает, что число должно рассматриваться как вещественное. Например, 1 — целое число, но 1. — уже вещественное число. Для представления выражения ехрг в форме вещественного числа используется функция N [ехрг] или N [ехрг, число_цифр_результата].

Примеры

Вещественные числа всегда имеют некоторую погрешность представления результатов из-за неизбежного округления и существования так называемого машинного нуля — наименьшего числа, которое воспринимается как нуль. В терминах системы Mathematica говорят о приближении числовых данных как об их аппроксимации, хотя в отечественной литературе под аппроксимацией чаще подразумевают описание некоторой зависимости между данными достаточно приближенной аналитической зависимостью.

Mathematica имеет две системные переменные, позволяющие вывести максимально и минимально возможные значения чисел, с которыми оперирует система:

Обратите внимание на то, что функция N [ехрr, m] позволяет получить число с практическим любым числом цифр результата m. Разработчики последней версии Mathematica 4 утверждают, что это верно при количестве цифр результата до одного миллиона, что с лихвой удовлетворяет требованиям подавляющего большинства расчетов и вычислений.

Функции IntegerPart [x] и FractionalPart [x] обеспечивают возврат целой и дробной частей вещественного числа х:

Еще одна функция RealDigits [x] возвращает список реальных цифр результата и число цифр целой части х:

Есть и множество других функций для работы с вещественными числами. Они будут рассмотрены в дальнейшем. В Mathematica 4 функция RealDigits имеет расширенные формы, например RealDigits [x, b, len, n]. Для получения цифр мантиссы введены функции MantissaExponent [x] и MantissaExpo-nent[x,b].

Комплексные числа

Многие математические операции базируются на понятии комплексных чисел. Они задаются в форме

или

где знак I (i) — мнимая единица (квадратный корень из -1), Re (z) — действительная часть комплексного числа, a Im (z) — мнимая часть комплексного числа. Пример задания комплексного числа:

или

Мнимая часть задается умножением ее значения на символ мнимой единицы I. При этом знак умножения * можно указывать явно или заменить его пробелом — в последнем случае комплексное число выглядит более естественным. Функции Re [ z ] и Im [ z ] выделяют, соответственно, действительную и мнимую части комплексного числа z. Это иллюстрируют следующие примеры:

Большинство операторов и функций системы Mathematica работают с комплексными числами. Разумеется, это расширяет сферу применения системы и позволяет решать с ее помощью различные специальные задачи — например, относящиеся к теории функций комплексного аргумента. Комплексные числа широко используются в практике электро- и радиотехнических расчетов на переменном токе.

Символьные данные и строки

Символьные данные в общем случае могут быть отдельными символами (например a, b,..., z), строками (strings) и математическими выражениями ехрг (от expression — выражение), представленными в символьном виде.

Символьные строки задаются цепочкой символов в кавычках, например "sssss". В них используются следующие управляющие символы для строчных объектов:

• \n— новая строка (line feed);
• \ t — табуляция.

"Hello my friend!"

Hello my friend!

"Hello\nmy\nfriend!"

Hello

my

friend!

"Hello\tmy\tfriend!"

Hello my friend;

Следует помнить, что управляющие символы не печатаются принтером и не отображаются дисплеем, а лишь заставляют эти устройства вывода выполнять определенные действия. Mathematica имеет множество функций для работы со строками, которые будут описаны в дальнейшем.

Выражения

Выражения в системе Mathematica обычно ассоциируются с математическими формулами, как показано в следующей таблице.

Запись на языке Mathematica	Обычная математическая запись
2*Sin[x]	2*sin(x)
2 Sin[x]	2*sin(x)
(а +b^2 + с^З) / (3*d - 4*e)	(a + b 2 +с 3 )/(3d-4е)
sqrt(2)	Кореннь из 2
Integrate [Sin [x] , х]	Интеграл sin(x) dx

Для записи математических выражений используются как операторы, так и функции. Их особенности будут рассмотрены несколько позже. А пока сразу отметим некоторые тонкости синтаксиса системы, используемого при записи арифметических операций:

• знак умножения может быть заменен пробелом;
• встроенные функции начинаются с большой буквы и обычно повторяют свое общепринятое математическое обозначение (за исключением тех, в названии которых есть греческие буквы — они воспроизводятся латинскими буквами по звучанию соответствующих греческих букв);
• круглые скобки () используются для выделения частей выражений и задания последовательности их вычисления;
• параметры функций задаются в квадратных скобках [ ];
• фигурные скобки {} используются при задании списков.

Новые системы Mathematica 3/4 обладают обширными возможностями по заданию форматов записи математических выражений при их выводе на экран или принтер, а также при вводе с клавиатуры. Они будут рассмотрены в дальнейшем.

Списки и массивы

Наиболее общим видом сложных данных в системе являются списки (lists). Списки представляют собой совокупности однотипных или разнотипных данных, сгруппированных с помощью фигурных скобок:

• { 1 , 2 , 3 } — список из трех целых чисел;
• { а , b , с } — список из трех символьных данных;
• {1, а, x^ 2} — список из разнотипных данных;
• {{a,b},{c,d}} — список, эквивалентный матрице

  a     b

  c     d

• {х^2+у^2, 2*Sin [x] } — список из двух математических выражений.

Как видно из этих примеров, элементы списков размещаются в фигурных скобках — открывающей { и закрывающей } . Списки могут быть с вложениями из списков — так получаются многоуровневые списки (двухуровневый список дает матрицу). Позже свойства и возможности списков будут рассмотрены детально. С помощью списков представляются множественные данные — массивы.

Объекты и идентификаторы

В общем случае система Mathematica оперирует с объектами. Под ними подразумеваются математические выражения (ехрг), символы (symbols), строки из символов (strings), упомянутые выше числа различного типа, константы, переменные, графические и звуковые объекты и т. д.

Каждый объект характеризуется своим именем — идентификатором. Это имя должно быть уникальным, то есть единственным. Существуют следующие правила задания имен:

• sssss — имя объекта, заданного пользователем;
• Sssss — имя объекта, входящего в ядро системы;
• $Sssss — имя системного объекта.

Итак, все объекты (например функции), включенные в ядро, имеют имена (идентификаторы), начинающиеся с большой буквы (например Plus, Sin или Cos). Идентификаторы относящихся к системе объектов начинаются со знака $. Заданные пользователем объекты следует именовать строчными (малыми) буквами. Разумеется, под символами s...s подразумеваются любые буквы и цифры (но не специальные символы, такие как +, -, * и т. д.).

Объекты (чаще всего это функции), встроенные в систему, принято называть внутренними или встроенными. Объекты, которые создает пользователь (в том числе используя внутренние объекты), называют внешними объектами. К ним, в частности, относятся процедуры и функции, составляемые пользователем, которые детально рассматриваются в дальнейшем.

Функции, опции, атрибуты и директивы

К важному типу объектов принадлежат функции — объекты, имеющие имя и список параметров, возвращающие некоторое значение в ответ на обращение к ним по имени с указанием списка конкретных (фактических) значений параметров. В системах Mathematica 2/3/4 встроенные функции задаются в виде

И дентификатор_Функции [ol, о2, o3, ...]

где ol, о2, оЗ... — объекты (параметры, опции, математические выражения и т. д.). Список входных параметров задается необычно — в квадратных скобках. В числе входных параметров могут быть специальные объекты — опции. Они задаются в виде

Имя_опции->3начение_опции

Значением опции обычно является то или иное слово. Например, в функции построения графиков

Plot [sin[x] , {x, 0,20} ,Axes->None]

опция Axes->None указывает на то, что отменяется вывод координатных осей (Axes). Функция Options [name] выводит для функции с идентификатором name список всех возможных для нее опций. Некоторые функции, например Sin, могут вообще не иметь опций, другие, такие как Solve, могут иметь целый «букет» опций:

Options [Sin]

Options [Solve]

{InverseFunctions -> Automatic, MakeRules -> False,

Method -> 3, Mode -> Generic, Sort -> True,

VerifySolutions -> Automatic, WorkingPrecision -> 00}

В последнем случае характер возвращаемого функцией результата может сильно зависеть от значений опций. Назначение каждой опции мы рассмотрим в дальнейшем. В этой главе они нам пока не понадобятся.

Каждый объект может характеризоваться некоторой совокупностью своих свойств и признаков, называемых атрибутами. Функция Attributes [name] возвращает список всех атрибутов функции с именем name, например:

Attributes [Sin]

{bistable, NumericFunction, Protected}

Attributes [Solve]

{Protected}

Как видите, для функции синуса характерны три атрибута:

• bistable — указывает на применимость в списках и таблицах;
• NumericFunction — указывает на отношение к числовым функциям;
• Protected — указывает на то, что слово Sin защищено от какой-либо модификации.

Кроме того, в Mathematica 2/3/4 имеется понятие функций-директив. Эти функции не возвращают значений, а указывают, как в дальнейшем будут выполняться функции, работа которых зависит от директив. Синтаксис функций-директив тот же, что и у обычных функций.

Применение опций и директив делает аппарат функций более гибким и мощным, поскольку позволяет задавать те или иные свойства функций и условия их выполнения. Это особенно важно при использовании функций в задачах графики и символьной математики.

Константы

Константы являются типовыми объектами системы, несущими заранее предопределенное численное или символьное значение. Это значение не должно меняться по ходу вычисления документа. К численным константам относятся любые числа, непосредственно используемые в математических выражениях или программных объектах, например процедурах и функциях. Так, числа 1 и 2 в выражении 2*Sin [ 1 ] являются численными константами. Константы-числа не имеют идентификаторов. Идентификатором, в сущности, является само число. Его представление и хранится в памяти.

Имеется также ряд именованных констант, которые можно рассматривать как функции без аргумента, возвращающие заранее заданное значение. Имена констант (и других объектов, например функций и переменных) представляются их идентификаторами — непрерывной строкой символов, отождествляемой с именем. В системе Mathematica большинство идентификаторов имеют естественный математический смысл и начинаются с большой буквы. Например, Е — это основание натурального логарифма.

Используются следующие встроенные именованные константы:

• Complexlnf inity — комплексная бесконечность, которая представляет величину с бесконечным модулем и неопределенной комплексной фазой.
• Degree — число радиан в одном градусе, которое имеет числовое значение Pi/180.
• Е- основание натурального логарифма с приближенным числовым значением 2 . 71828....
• EulerGamma — постоянная Эйлера с числовым значением 0.577216....
• GoldenRatio — константа со значением (l+Sqrt[5] ) /2, определяющая деление отрезка по правилу золотого сечения.
• I — представляет мнимую единицу Sqrt [-1].
• Infinity — «положительная» бесконечность (со знаком «минус» дает «отрицательную» бесконечность).
• Catalan — константа Каталана 0 . 915966....
• Pi — число, имеющее значение 3 .14159... и равное отношению длины окружности к ее диаметру.

Константы, имеющие значение, дают его в виде вещественного числа:

{N [Degree], N[E], N[Pi]}

{0.0174533, 2.71828, 3.14159}

{N[EulerGamma],N[GoldenRatio],N[Catalan]}

{0.577216, 1.61803, 0.915966}

Константы в описываемой системе используются вполне естественно, так что от дальнейшего их описания можно воздержаться.

Размерные величины

Mathematica позволяет оперировать с размерными величинами, которые широко используются в физических и химических расчетах. Размерные величины характеризуются не только численными значениями, но и единицами измерения, например Meter (метр), Second (секунда) и т. д. Последние могут стоять в числителе и в знаменателе выражений, представляющих размерные величины:

1 Meter

Meter

5Meter

5 Meter

0.5Second

0.5Second

Между значением размерной величины и единицей измерения знак умножения можно не ставить. Это видно из приведенных выше примеров.

Для облегчения ввода физических констант, представляющих собой размерные величины, в наборе файлов Mathematica можно найти файл PhysicalConstants.nb. При его загрузке появляется дополнительная палитра физических констант, показанная на рис. 3.2.

Для ввода констант достаточно активизировать соответствующую кнопку с нужной константой. Будут введено выражение, задающее константу. Ниже представлены примеры ввода первой и последней констант, содержащихся в палитре, представленных в стандартной форме:

2.99792458000000028'*^8 Meter/ Second

2.99792х108 Meter/ Second

6. 9599 x 108 Meter

6.9599xl08 Meter

Следует отметить, что без острой необходимости применять размерные величины не следует, поскольку они усложняют математические выражения и зачастую не позволяют выполнять с ними символьные преобразования. Рекомендуется нормировать выражения (формулы) так, чтобы результаты их вычисления имели безразмерный вид.

Рис. 3.2. Дополнительная палитра физических констант

 

Переменные

Переменными в математике принято называть именованные объекты, которые могут принимать различные значения, находящиеся в определенном множестве допустимых значений. Подобно этому, переменными в системе Mathematica являются именованные объекты, способные в ходе выполнения документа неоднократно принимать различные значения — как численные, так и символьные. При этом символьные значения переменных, в отличие от обычных языков программирования, могут представлять собой как исполняемые математические выражения ехрг, так и некоторые обобщенные классы функций и объектов. Например, переменная может представлять графический объект, такой как изображение трехмерной поверхности, или звуковой объект, при активизации которого исполняется звук. Значением переменных могут быть также множественные объекты — списки.

Имена переменных называют их идентификаторами. Они должны быть уникальными, то есть не совпадать с именами директив, атрибутов, опций и функций в ядре системы. Имена переменных должны начинаться с буквы. Общеприняты, скажем, имена х и у для функциональной зависимости у (х) или представления графиков, f — для функций. Желательно назначать именам переменных смысловые значения, например xcoordinaate или ycoordinate для координат точки. Все сказанное об идентификаторах объектов справедливо и для идентификаторов переменных, поскольку переменные — распространенные виды объектов.

Особенности применения переменных

В отличие от переменных в математике, каждая переменная в системе Mathematica, как и в любой системе программирования, всегда отождествляется с некоторой физической областью памяти, в которой и хранится значение переменной. Для уменьшения объема памяти применяются различные способы компактного размещения информации. Надо помнить, что и имя переменной занимает определенную область памяти. Распределение памяти под переменные — динамическое. Это означает, что местоположение ячеек памяти и объем памяти под ту или иную переменную не фиксированы, а меняются в ходе выполнения задачи.

Заранее объявлять тип переменной не требуется. Он определяется операцией присваивания переменной некоторого значения. Такой подход упрощает построение программ и естественен при использовании переменных в обычной математической литературе.

Без особых на то указаний переменные в системе Mathematica являются глобальными. Это означает, что после определения переменной ее значение можно изменить в любом месте документа или программы. Переменная появляется как действующий объект только после ее первого определения или задания. Определения переменных выполняются с помощью операции присваивания, вводимой знаком равенства:

var = value

Здесь var — имя переменной, value — ее значение. Ниже представлены основные операции по присваиванию переменным значений:

• х = value — переменной х присваивается вычисленное значение value;
• х = у = value — вычисленное значение value присваивается переменным х и у;
• x:=value — присваивание переменной х невычисленного значения value;
• х =. — с переменной х снимается определение.

Примеры (комментарий ln[...] опущен):

• g = Plot[Sin[x],{x,0,20}] — переменной д присваивается значение в виде графического объекта;
• у = 1 + х ^{^} 2— переменной у присваивается символьное значение в виде математического выражения (1 + х ^{^} 2);
• z= {1, 2, х, a + b}— переменной z присваивается значение в виде списка, содержащего четыре элемента.

Различие в присваивании переменным значений с помощью знаков «=>> и <<:=» иллюстрируют следующие примеры:

а=12;

b=а

12

с:=а

с

12

а=15;

b

12

с

15

Как видите, после первоначальных присваиваний b=а и с: =а обе переменные, b и с, имеют значение 12. Однако после присваивания переменной а нового значения (15) переменная b, которой было присвоено вычисленное значение а, остается равной 12, а переменная с, которой было присвоено невычисленное значение а, становится равной 15.

Особо обратите внимание на то, что возможно снятие с переменной определения с помощью символов «=.» или функции Clear [var]. В символьной математике это очень полезная возможность, поскольку нередко переменные с одним и тем же именем в разных частях программы могут иметь разный смысл и представлять объекты, требующие значительных затрат памяти.

Более того, эти объекты сохраняются даже при использовании команды New при переходе к подготовке нового документа. Поэтому рекомендуется всякий раз удалять определения переменных, как только их использование завершается. Это предотвращает возникновение конфликтов между одноименными переменными и освобождает память.

Переменные могут быть локальными, то есть действующими только в пределах объекта, в котором они объявлены. Таким объектом может быть функция или процедура со списком входных параметров. Такие объекты мы рассмотрим позже.

Оценивание переменных и операции присваивания

Специфику математических выражений в системе Mathematica составляет возможность их оценивания и изменения в соответствии с заложенными в ядро системы правилами математических преобразований. В итоге после изменения значение выражения, которое присваивается переменной, может быть совсем иным, чем до оценивания. Поэтому в целом для определения переменных используют описанные ниже конструкции.

Основная функция Set [ Ihs, rhs ] имеет аналогичные по действию упрощенные операторы:

• Ihs = rhs — вычисляет правую часть rhs и присваивает ее значение левой части Ihs. С этого момента Ihs замещается на rhs всюду, где бы этот идентификатор ни появился;
• {11, 12, ...} = {rl, г2, ...} — вычисляет ri и назначает полученные результаты соответствующим 11.

Функция задержанного присваивания SetDelayed[lhs,rhs] может быть заменена аналогичным по действию оператором Ihs : =rhs, который назначает правой части rhs роль отложенного значения левой части Ihs. При этом rhs содержится в невычисленной форме. После этого, когда появляется идентификатор Ihs, он заменяется на значение rhs, вычисляемое каждый раз заново.

При задержанном (отложенном) присваивании вывода нет, тогда как при обычном немедленном присваивании lhs=rhs значение rhs вычисляется немедленно и результат выводится в строку вывода.

Функция присваивания верхнего уровня UpSet [Ihs, rhs] применяется в виде lhs ^A =rhs. При этом левой части Ihs присваивается значение правой части rhs, причем это значение связывается с символами, которые появляются на первом уровне вложенности в Ihs.

И, наконец, функцию отложенного присваивания верхнего уровня UpSetDelayed[lhs, rhs] может заменить оператор lbs^ :=rhs. При этом величина rhs выполняет роль отложенного значения Ihs, и связывается это присваивание с символами, которые появляются на первом уровне вложенности в Ihs.

Отметим еще одну важную конструкцию SetOptions [s, namel->valuel, name2->value2, . . . ], которая устанавливает для символа s указанные опции, определяемые по умолчанию.

Применение различных типов операций присваивания способствует большей гибкости системы. Различия между этими операциями на первый взгляд несущественны, но они принципиальны, и это станет понятно после более детального знакомства с символьными преобразованиями и приобретения практики работы с системой.

Имеются также системные переменные, значениями которых являются данные о системе и ее работе, например версия применяемой операционной системы, текущая дата, время в данный момент, машинная точность вычислений и т. д. Многие из таких переменных имеют отличительный знак $ перед своим именем. Такие переменные более подробно будут рассматриваться в дальнейшем.

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;