Отличительные особенности Mathematica 4

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Отличительные особенности Mathematica 4

Ускорение численных расчетов и повышение их точности

Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 4 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. До сих пор скорость вычислений в системе MATLAB в 5-10 раз превышала скорость вычислений, производимых системами символьной математики. Поэтому в системе Mathematica 4 были предприняты необычные для систем символьной математики и даже беспрецедентные меры по ускорению численных расчетов. Они перечислены ниже:

Значительно ускорены все операции с матрицами, особенно большого размера.

Существенно оптимизированы алгоритмы для выполнения вычислений с числами, содержащими вплоть до миллиона знаков.

Ускорен ввод и вывод очень больших целых чисел.

Полностью сохраняется точность при вводе и выводе приближенных действительных чисел.

Обеспечивается свертка и корреляция массивов любой размерности.

Применены новые оптимизированные алгоритмы для преобразований Фурье.

Ускорены процедуры численного решения полиномиальных уравнений.

Рисунок 1.22. иллюстрирует некоторые простые вычисления в численном виде с фиксацией времени вычислений для систем Mathematica 3 и 4 (данные получены от разработчика).

Рис. 1.22. Сравнительные данные по скорости простых вычислений

[an error occurred while processing this directive]

Из примеров на рис. 1.34 видно, что скорость простых вычислений возросла в 5-10 раз.. В отдельных случаях скорость более сложных вычислений возрастала намного больше. Ниже приведены данные о выполнении некоторых операций над матрицей m большого размера (500x500).

Операция	Mathematica 4	Mathematica 3	Отношение времен
Sin [m] (m+ 1) 100 Min [m]	0,13с 0,311 с 0,02с	2,433 с 4,426 с 4,487 с	18,7:1 14,23:1 224:1

Такое резкое ускорение скорости численных расчетов способно открыть для системы Mathematica 4 новые обширные сферы применения, например численное моделирование сложных систем, описываемых матричными алгебраическими и дифференциальными уравнениями.

Улучшение работы с массивами

Кардинально уменьшено и время обращения к памяти при записи и считывании массивов, а заодно существенно повышена плотность упаковки массивов для данных различного типа (за счет применения особой технологии упаковки массивов). Приведенные ниже сведения характеризуют это для версий Mathematica 4 и 3 для ряда типов данных — целых (Integers), вещественных (Reals) и комплексных (Complex Numbers).

Mathematica 4			Mathematica 3
Тип данных	Время, с	Объем памяти	Время, с	Объем памяти
Integers	0,24	400 056	0,43	2 000 024
Reals	0,231	800 056	0,611	2 000 024
Complex Numbers	0,35	1 600 056	1,341	6 000 024

Уплотнение массивов означает, что Mathematica 4 при заданном объеме свободной памяти может решать более объемные и серьезные задачи, чем это смогла бы сделать предшествующая версия системы.

Указанные достоинства системы Mathematica 4 достигнуты за счет выбора и тщательной оптимизации алгоритмов численных вычислений:

введена прямая поддержка следов матриц;

изменены алгоритмы нахождения минимума (функция FindMinimum);

реализован ускоренный вывод больших чисел — вплоть до миллионов цифр;

введена новая технология упаковки больших массивов чисел;

существенно уменьшена необходимость в повторных циклах;

обеспечена абсолютная точность при целочисленных вычислениях;

гарантирована заданная погрешность при вычислениях с вещественными числами;

улучшено размещение переменных в памяти.

По умолчанию погрешность вычислений при целочисленных операциях в системе Mathematica 4 определена в 1 000 000 верных цифр. К примеру, чтобы выдать число n с миллионом верных знаков, системе Mathematica 4 понадобится чуть больше двух минут (разумеется, на современном компьютере)! В некоторых видах сложных целочисленных вычислений, используемых в технике кодирования информации, Mathematica 4 обеспечивает беспрецедентно малое время вычислений.

Улучшенные математические возможности

Математические возможности системы Mathematica 4 существенно пополнены и улучшены. В частности, обеспечены следующие возможности:

прямая поддержка линейной алгебры разреженных матриц;

экспериментальная поддержка кванторного исключения с использованием цилиндрического алгебраического разложения;

экспериментальная поддержка символьной оптимизации;

быстрая свертка и корреляция для массивов любого размера и размерности;

новые улучшенные алгоритмы для преобразований Фурье (рис. 1.23);

ускоренное вычисление полиномиальных уравнений;

новые алгоритмы для функции минимизации FindMinimum;

расширение возможностей матричных преобразований;

алгебраическая вычислительная поддержка для функций символьных преобразований Simplify, FunctionExpand и связанных с ними других функций;

расширение возможностей функций преобразования FullSimplify и FunctionExpand;

упрощение полиномиальных и других неравенств;

полная улучшенная поддержка символьных преобразований Лапласа и Фурье;

расширенные возможности решения трансцендентных уравнений;

ускоренное неоднократное дифференцирование;

поддержка ряда новых специальных функций (Дирака, Струве, обобщенных логарифмов, двумерных гипергеометрических функций Аппеля, полилогарифмов Ньелсена, гармонических функций, различных констант и т. д.);

новые оптимизированные методы для оценивания е, n и других констант с очень высокой точностью;

полная поддержка для непрерывных дробей и периодических цифровых последовательностей ;

прямая поддержка поразрядных операций.

[an error occurred while processing this directive]

Рис. 1.23. Пример выполнения преобразования Фурье в среде Mathematica 4

Из рис. 1.23. видно, что на преобразование Фурье массива 500x500 элементов Mathematica 4 затратила около 2 с. Для сравнения отметим, что Mathematica 3 выполнила ту же работу за 11 с, то есть ускорение преобразования Фурье оказывается более чем пятикратным.

Рисунок 1.24. иллюстрирует возможности выполнения интегральных преобразований Лапласа и Фурье в символьном виде.

Рис. 1.24. Примеры интегральных аналитических преобразований

Некоторые другие примеры использования, характерные для системы Mathematica 4, можно найти на Интернет-странице фирмы Wolfram.

Улучшенная поддержка средств графики и звука

Графика всегда была козырной картой систем Mathematica. В новой версии системы также реализованы многочисленные новые возможности. Отметим наиболее существенные из них:

ускоренный вывод графических данных на дисплеи больших размеров;

экспорт и импорт графики и звука во многих форматах (рис. 1.25);

поддержка дискретного масштабирования уровней цвета;

поддержка трехмерной динамической графики в реальном времени (только в среде Windows);

ускоренная генерация и вывод на экран больших графиков;

полностью согласованная поддержка безусловных опций.

[an error occurred while processing this directive]

Рис. 1.25. Форматы ввода и вывода изображений, поддерживаемые системой Mathematica 4

Всего Mathematica 4 поддерживает свыше 20 различных форматов файлов. Возможность импорта графического файла с высоким разрешением в формате TIFF и последующего преобразования файла в формат JPG иллюстрирует рис. 1.26.

Рис. 1.26. Пример импорта файла в одном формате и экспорта того же файла в другом формате

Средства графики Mathematica 4 позволяют использовать систему в качестве графического процессора, осуществляющего эффективные цифровые преобразования изображений, такие как стилизация (рис. 1.27), повышение и понижение контрастности и яркости, обработка цветов, фильтрация и т. д.

Рис. 1.27. Пример обработки изображения, показанного на рис. 1.26

Все это, разумеется, повышает шансы системы Mathematica 4 сохранить за собой роль мирового лидера среди систем компьютерной математики для ПК.

Вращение трехмерных графиков мышью

Следом за системами Maple V R5 и Mathcad 8 PRO Mathematica 4 приобрела возможность быстрого вращения произвольных трехмерных графиков. Пример реализации этой возможности представлен на рис. 1.28.

Данная возможность достигнута за счет существенного ускорения построения сложных трехмерных фигур с помощью команды, включенной в специальный файл и загружаемой как

<<RealTime3D`

Другая команда,

<<Default3D`

возвращает систему к стандартным возможностям трехмерной графики.

Из приведенных данных ясно, что возможности системы Mathematica 4 и скорость ее работы существенно повышены. Однако при этом сохранена практически полная совместимость по интерфейсу пользователя и базовому набору операторов и функций с предшествующей версией Mathematica 3. Так что из этой книги читатель получит достаточно полные сведения не только о новейшей версии Mathematica 4, но и о ее предшественнице — системе Mathematica 3. Значительная часть сведений и примеров полезны и пользователям версий Mathematica 2.x.

Рис. 1.28. Стоп- кадр документа, показывающего возможность вращения трехмерной фигуры в реальном времени

При выборе той или иной версии решающую роль играют финансовые соображения и аппаратные требования к компьютеру. Как уже отмечалось, новая версия Mathematica 4 для установки на компьютере с операционной системой Windows 95/98 требует объема ОЗУ 16/24 Мбайт и 40/156 Мбайт места на жестком диске (в числителе дробей минимальное значение, в знаменателе — рекомендуемое). В то же время, система Mathematica 2.2.2 требует емкости ОЗУ 8 Мбайт (версия 2.1 — даже 4 Мбайт), занимает на жестком диске 14 Мбайт и инсталлируется с 6 обычных гибких дисков.

Программирование и ядро системы

Средства программирования и ядра системы Mathematica дают ряд новых возможностей:

функции NestWhile и NestWhileList, позволяющие обобщения функции FixedPoint;

функции PadLeft и PadRight;

поддержку перекрытия и расширения подсписков, генерируемых функцией Partition;

функции ListConvolve и ListCorrelate;

обобщение функций Take, Drop и связанных с ними функций до любой размерности и любых шагов по индексу;

поддержку функции All для определения частей на определенных уровнях в выражениях;

расширения в функции Mod для поддержки кириллических списков;

контекст Developer, предоставляющий доступ к внутренним функциям системы;

контекст Experimental, предоставляющий доступ к функциям, находящимся в стадии разработки.

Операции ввода и вывода

Операции ввода и вывода в Mathematica 4 дают следующие новые возможности:

оптимизированный разрыв строк для удобства ввода выражений и программ;

динамический текстовый курсор, обеспечивающий визуальную непрерывность ввода;

динамические цветные подсказки при вводе ограничивающих скобок;

автоматическое замещение вводимых ключевых последовательностей специальными символами или другими объектами;

новый альтернативный синтаксис для извлечения частей выражений и применения функций;

внедрение ячеек в текст;

существенно ускоренный вывод строковых выражений.

Системный интерфейс

На уровне системного интерфейса в Mathematica 4 обеспечены:

поточный вывод табличных данных;

развитая поддержка преобразования ячеек в HTML;

дополнительная поддержка вывода в формате ТеХ;

ускорено взаимодействие с внешними программами через MathLink;

поддержка дополнительных наборов символов, включая китайские и корейские;

экспериментальная поддержка вывода на экран в режиме реального времени;

экспериментальная поддержка удаленных файловых систем через MathLink;

экспериментальная поддержка всплывающих кнопочных палитр.

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;