Лабораторные работы задачи по электротехнике Исследование резонанса напряжений Исследование резонанса токовИсследование однофазного трансформатора Исследование разветвленных цепей синусоидального тока Переходные процессы

Лабораторная работа № 2

Переходные процессы в RLC цепях.

1. Общие сведения


Линейные цепи 2-го порядка содержат два разнотипных реактивных элемента L и C. Примерами таких цепей являются последовательный и параллельный резонансные контуры (рис.1). Переходные процессы в колебательных контурах описываются дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Рассмотрим случай разряда емкости на RL цепь (рис.2). Составим уравнение цепи по первому закону Кирхгофа:

,  (1)

где

Подпись: Рис. 2. Включение RLC цепи на постоянное напряжение

После дифференцирования (1) получим


. (2)

Решение Uс(t) уравнения (2) находим как сумму свободной Uсв(t) и принужденной Uпр составляющих

Uс=Uсв+Uпр.  (3)

Uпр зависит от Е, а Uсв(t) определяется решением однородного дифференциального уравнения вида

. (4)

Характеристическое уравнение для (4) имеет вид

LCp² + RCp + 1 = 0, (5)

Корни характеристического уравнения

.

Величину  R/2L = α называют коэффициентом затухания,  – резонансной частотой контура. При этом

.

Характер переходных процессов в контуре зависит от вида корней p1 и p2. Они могут быть:

1) вещественные, различные при R > 2ρ, Q < 0,5;

2) вещественные и равные при R = 2ρ, Q = 0,5;

3) комплексно-сопряженные при R < 2ρ, Q > 0,5.

Здесь   – характеристическое сопротивление, Q = ρ/R – добротность контура.

В схеме рис. 2 до коммутации при t<0 емкость заряжена до напряжения Uc(0-) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид

  (6)

Для нахождения постоянных интегрирования А1 и А2 запишем выражение для тока в цепи

.

Используя начальные условия Uc(0-) = E и i(0-) = 0, получаем систему уравнений

  (7)

Из решения системы имеем

.

В результате для тока и напряжений в контуре получим


Временные диаграммы тока и напряжений показаны на рис. 3. Величины Uc, i, UL состоят из двух слагаемых, затухающих по экспоненциальному закону с постоянными времени , . Момент времени  соответствует максимуму тока и нулевому значению напряжения UL. При низкой добротности Q < 0,5 в контуре происходит апериодический разряд емкости. На интервале 0–t1 энергия конденсатора Wc=E2C/2 расходуется частично на создание магнитного поля индуктивности и частично на потери в сопротивлении R. При t > t1 энергия конденсатора и индуктивности расходуется в резисторе R.

В случае Q > 0,5 корни характеристического уравнения (5) комплексные, сопряженные:

,

где  – частота собственных затухающих колебаний контура. Решение дифференциального уравнения (2) для этого случая имеет вид

. (8)

Закон изменения тока

. (9)

Постоянные интегрирования А и Q определяются из начальных условий для Uc и i и законов коммутации

Решая систему уравнений, находим

.

Окончательно имеем

 (10)

Согласно (10) в контуре имеет место колебательный разряд емкости с частотой ωс. Интервал Tc=2π/ω называется квазипериодом. Временные диаграммы изображены на рис.4. При Q>>1, Q ≈ 90° напряжения на емкости и индуктивности противофазные: Uc(t)=-UL(t). Колебательный процесс имеет затухающий характер из-за потерь в контуре на сопротивлении R. Затухание колебаний происходит по экспоненциальному закону со скоростью, зависящей от коэффициента α=R/2L. Для оценки скорости затухания используют декремент затухания

Затухание колебаний происходит тем быстрее, чем больше сопротивление R. При R=2ρ колебательный процесс переходит в апериодический. При колебательном разряде происходит

попеременный обмен энергией между емкостью и индуктивностью, энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот. Часть энергии теряется в резисторе и процесс постепенно затухает. При R=0 колебания оказываются незатухающими с частотой . Такой колебательный контур называется без потерь.

Случай Q=0,5 является пограничным между апериодическим и колебательным процессами. При R=2ρ р1=р2=р=-α и выражение для тока и напряжений в контуре имеют вид

Значение R=2ρ называется критическим сопротивлением контура.

2. Программа работы

1. Исследовать переходные процессы в LC цепи (рис. 5) в апериодическом режиме

а) Rг=110 Ом, R1=0 Ом, R2=330 Ом, L=500 мкГн, С=0,022 мкФ;

б) Rг=110 Ом, R1=220 Ом, L=500 мкГ, С=0,022 мкФ.


На вход схемы подать импульсное напряжение прямоугольной формы с выхода генератора. Амплитуда напряжения Um=5 В, частота следования импульсов F=10кГц. Просмотреть и зарисовать временные диаграммы Ег(t) и напряжений на элементах цепи.

Подпись: Рис. 5. RLC-цепь
2. Исследовать переходные процессы в RLC-цепи в режиме затухающих колебаний:

а) Rг=110 Ом, R1=0, R2=0, L=500 мкГн, С=0,022 мкФ.

б) Rг=110 Ом, R1=0, R2=0, L=1000 мкГн, С=0,022 мкФ.

Просмотреть и зарисовать временные диаграммы входного напряжения Ег(t) и напряжений на элементах R2, L и С схемы.

3. Произвести компьютерное моделирование переходных процессов в RLC цепи в апериодическом и колебательном режимах (параметры цепи выбрать такие же, как в пп. 1, 2). Моделирование проводить с помощью программы «MC-7». Сравнить результаты эксперимента и компьютерного моделирования.

Моделирование проводить с помощью программы «MC-7». Для этого создайте принципиальную схему исследуемой цепи: File-New-Shematic ,используя рис.5 и 6.

Подключите к схеме генератор импульсов. В диалоговом окне “Pulse Sourse” задайте параметры генератора PART=E, Model=Pulse (выберите из окна “Voltage vs. Time”).

Задайте параметры импульсов, вырабатываемых генерато-ром:Vzero=0, Vone=5, P1=100N, P2=110N, P3=40000N, P4=40010N, P5=80u.

Запустите программу анализа схем Analis. Выберите режим анализа переходных процессов Transistens. Установите время анализа Time Range=80u ( 80мксек). Установите символ ( v ) в окне “Auto Scale Ranges”. Эта процедура облегчит выбор масштабов по координатным осям V , t. Выберите номера точек для анализа - V(1), V(4).Запустите программу на исполнение нажатием кнопки RUN. При выдаче сообщения об ошибке (например, неправильная установка параметров генератора), программа выделит цветом предполагаемое место ошибки. После устранения запустите программу еще раз. Зарисуйте полученные временные диаграммы.

Проведите моделирование с другими параметрами исследуемой схемы в соответствии с п.1,б и п.2. а,б.

Сравнить результаты эксперимента и компьютерного моделирования.


Рис.6. Диалоговое окно программы «МС-7» в режиме анализа переходных процессов в RLC цепи.

Контрольные вопросы

Какие электрические цепи являются цепями второго порядка?

Приведите пример электрической цепи второго порядка с нулевыми начальными условиями для L и C элементов.

Приведите пример электрической цепи второго порядка с ненулевыми начальными условиями: а) для индуктивности, б) для емкости.

Запишите дифференциальное уравнение для R, L, C цепи.

Что такое характеристическое уравнение и какой вид оно имеет для цепи второго порядка?

Какие значения могут иметь корни характеристического уравнения для цепи второго порядка?

Как выглядит решение дифференциального уравнения для электрической цепи второго порядка в случаях: а) апериодического переходного процесса; б) колебательного переходного процесса?

Что такое добротность LC–контура и как она влияет на характер переходного процесса?

Что такое декремент затухания, что он характеризует, от чего зависит?


Исследование трёхфазных цепей при соединении сопротивлений нагрузки в звезду