Лабораторные работы задачи по электротехнике Исследование резонанса напряжений Исследование резонанса токовИсследование однофазного трансформатора Исследование разветвленных цепей синусоидального тока Переходные процессы

Лабораторная работа № 1

Переходные процессы в линейных цепях первого порядка

1. Общие сведения

Переходными называются процессы, возникающие в электрических цепях при переходе из одного установившегося режима в другой. В установившемся режиме токи и напряжения в цепи не изменяют своего характера. Если в цепи действует постоянная э.д.с., тогда в установившемся режиме токи и напряжения во всех участках цепи также постоянные. Переход от одного установившегося режима к другому при наличии в цепи реактивных элементов L и C не происходит скачкообразно, так как магнитная WL=I2L/2 и электрическая WE = U2C/2 энергии индуктивности и емкости не могут изменяться мгновенно. Из непрерывности изменения магнитного поля катушки индуктивности и электрического поля конденсатора вытекают два закона коммутации.

  Ток через индуктивность в момент времени t=0– до коммутации равен току в момент времени t = 0+ после коммутации:

.

  Напряжения на емкости до коммутации и после коммутации равны

.

Значения токов в индуктивности iL(0+) и напряжение на емкости Uc(0+) образуют независимые начальные условия.

Классический метод расчетов переходных процессов заключается в составлении интегродифференциальных уравнений на основе соотношений для мгновенных значений токов и напряжений в R, L, C элементах

.

Порядок n дифференциального уравнения определяется числом независимых реактивных элементов. Линейные цепи первого порядка содержат однотипные реактивные элементы (либо С, либо L). Примеры RC и RL цепей первого порядка показаны на рис. 1. Изменения токов и напряжений X(t) в элементах цепи находятся из решения дифференциального уравнения вида

. (1)


где W(t) - внешнее воздействие. Общее решение X(t) дифференциального уравнения находится как сумма общего решения Xсв(t) однородного дифференциального уравнения (без правой части) и частного решения Xпр(t) неоднородного уравнения:

X(t) = Xпр(t) + Xсв(t). (2)

Свободное решение Xсв(t) протекает в цепи без участия внешнего источника W(t), а принужденная составляющая Xпр(t) протекает в установившемся режиме под действием W(t). Свободная составляющая уравнения (1) находится в виде

Xсв(t) = Аеpt,

где р =b0/b1 является корнем характеристического уравнения

b1p + b0 = 0,

Постоянная интегрирования А находится из начальных условий.

2. Переходные процессы в RC цепях

Подпись: Рис. 2. Подключение э.д.с. к RС  цепиСхема подключения источника постоянного напряжения к RC цепи показана на рис. 2. В качестве независимой переменной берем напряжение на емкости Uc(t). При t=0 Uc(0–)=0, начальные условия нулевые. Составим уравнение для нахождения Uc(t):

.  (3)

Общее решение уравнения имеет вид

.  (4)

Из решения однородного уравнения находим

,

где τ=RC – постоянная времени цепи. Полагая t=∞, определяем значение принужденной составляющей Uпр=Е. Тогда для общего решения запишем

.

Используем начальные условия Uc(0–)=Uc(0+)=0, Найдем постоянную . Окончательное выражение для напряжения на емкости принимает вид

.

Ток в цепи

.

Подпись: Рис. 3. Токи и напряжения в  RС – цепи во время переходных процессовВременные диаграммы токов и напряжений во время переходных процессов в RC цепи показаны на рис. 3. В момент коммутации при t=0 емкость ведет себя как к.з. и ток в цепи i(0) =E/R. Далее, по мере заряда конденсатора, ток уменьшается по экспоненциальному закону. За время t=3t ток снижается до уровня i(3t)=0,05∙E/R.

3. Переходные процессы в RL цепях

Рассмотрим подключение источника постоянной э.д.с. к RL цепи (рис. 4). До коммутации iL(0–)=0 начальные условия нулевые. В качестве независимой переменной X(t) в уравнении (1) выберем ток i(t)=iL(t) и составим дифференциальное уравнение

Подпись: Рис.4. Подключение э.д.с. к RL цепи, (5)

где

Решение уравнения находим в виде:

i (t) = iпр(t) + iсв(t). (6)

Свободная составляющая является решением однородного уравнения

.  (7)

Решение дифференциального уравнения (5) имеет вид

i св(t) = Аеpt, (8)

где p =R/L – корень характеристического уравнения

pL + R =0,

Величина l/p=L/R=t, имеет размерность [с] и называется постоянной времени.

Принужденную составляющую iпр найдем как частное решение уравнения (3) в установившемся режиме (при t = ∞):

iпр=E/L

Тогда общее решение уравнения примет вид

.  (9)

Учитывая начальные условия i(0–)=0 и закон коммутации i(0–)=i(0+), находим . Окончательно выражение для тока в цепи имеет вид

.  (10)

Для напряжений на R и L элементах получим соотношения

,

.

Временные диаграммы напряжений и токов в цепи показаны на рис. 5. Скорость переходных процессов зависит от постоянной времени τ=L/R. При увеличении τ скорость изменения токов и напряжений снижается. За время t=3τ экспоненциальный переходный процесс достигает уровня 0,95 от установившегося значения, а за t=5τ уровня 0,99. На практике за длительность переходных процессов, протекающих по экспоненциальному закону, принимают величину (3 – 5)τ.

В схеме рис. 6 переходный процесс протекает при ненулевых начальных условиях

.

Общее решение для тока i(t) имеет вид (9), где свободная составляющая iсв(t) описывается соотношением (8), а принужденная составляющая iпр=0, Тогда

.

Постоянную А найдем из условия

.

Тогда выражения для тока и напряжения на индуктивности цепи во время переходных процессов примут вид

, .

Временные диаграммы i(t) и UL(t) показаны на рис. 7. До коммутации через индуктивность протекал ток  и в магнитном поле катушки была запасена энергия . При замыкании ключа происходит экспоненциальный разряд индуктивности через сопротивление R с постоянной времени .


Программа работы.

1. Исследовать переходные процессы в RL цепях (рис. 8) с параметрами:

а) R1=0, R2=330 Ом, Rг=110 Ом, L=500 мкГн.

б) R1=0, R2=330 Ом, Rг=110 Ом, L=1000 мкГн.

в) R1=220 Ом, R2=330 Ом, Rг=110 Ом, L=500 мкГн.


Просмотреть и зарисовать временные диаграммы Ег(t) и напряжений на элементах при подаче на вход импульсного напряжения прямоугольной формы с частотой Fг=1000 Гц и с амплитудой Um=5 В.

2. Исследовать переходные процессы в RC цепи (рис.9) с параметрами:

а) R1=0, R2=330 Ом,  Rг=110 Ом, С=0,022 мкФ;

б) R1=0, R2=330 Ом, Rг=110 Ом, С=0,027 мкФ;

в)  R1=220 Ом, R2=330 Ом, Rг=110 Ом, С=0,022 мкФ.

Просмотреть и зарисовать временные диаграммы Ег(t) и напряжений на элементах при подаче на вход импульсного напряжения прямоугольной формы с частотой Fг=1000 Гц и с амплитудой Um= 5В.


3. Провести компьютерное моделирование переходных процессов в RL цепи. Для моделирования использовать программу «MC-7». Создайте принципиальную схему цепи с помощью панели инструментов программы в режиме «Shematic». Для анализа переходных процессов нарисуйте схему исследуемой RL цепи (рис.8). Подключите к схеме генератор импульсов. В окне Part задайте имя источника Е. В окне “Model” – тип источника импульсов – “PULSE”. Задайте параметры импульсов – Vzero=0, Vone=5, P1=100N, P2=110N, P3=10000N, P4=10100N, P5=20u. Запустите программу “Transistient Analisis”. В окне “Time Ranges” установите время анализа 20 u (20 мксек). В окне “Auto Scale Ranges” поставьте знак «включено». Запустите программу расчета переходных процессов “Transistient Analisis” нажав кнопку “Run”. Зарисуйте осциллограммы напряжений в точке 1 и в точке 3 исследуемой схемы. Проведите исследование схемы при других параметрах схемы п.п.1(б,в).

4. Провести компьютерное моделирование переходных процессов в RC цепи. Параметры импульсного сигнала установите следующие:

Vzero=0, Vone=5, P1=100N, P2=110N, P3=60000N, P4=60010N, P5=120u.

Подпись: Рис.10. Вид окна редактирования схем
Проведите исследование схемы при других параметрах RC цепи п.п.2(б,в).


На рис.10 показано диалоговое окно программы «МС-7» в режиме редактирования схем

Контрольные вопросы

Что такое переходные процессы в электрических цепях?

В каких случаях возникают переходные процессы в электрических цепях?

Каким соотношением связаны мгновенные значения токов и напряжений для R, L, C элементов?

Сформулируйте закон коммутации для L и C элементов.

Как выглядит общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

Чем определяются вынужденная и свободная составляющие общего решения для RL и RC цепей первого порядка?

Приведите примеры RL и RC цепей с нулевыми и не- нулевыми начальными условиями.

Что такое постоянная времени цепи и как она влияет на скорость переходных процессов?

По какому закону протекают переходные процессы в электрических цепях первого порядка?


Исследование трёхфазных цепей при соединении сопротивлений нагрузки в звезду