Лабораторные работы задачи по электротехнике Исследование резонанса напряжений Исследование резонанса токовИсследование однофазного трансформатора Исследование разветвленных цепей синусоидального тока Переходные процессы

Цель работы: экспериментальная проверка методики расчета линейных электрических цепей при несинусоидальных воздействиях и исследование влияния индуктивности и емкости на форму кривой тока.

Пояснения к работе

Методика расчета линейных электрических цепей несинусоидального тока состоит в том, что заданное несинусоидальное периодическое напряжение или ток источника аналитически или графоаналитически представляют в виде гармонического ряда Фурье, после чего выполняют расчет цепи по каждой гармонике отдельно и записывают результирующие значения мгновенных или действующих значений токов и напряжений на отдельных участках.

В общем случае периодическая несинусоидальная функция представляется рядом Фурье вида

f(w t) = A0 +A1·sin(w t+y1)+ A2·sin(2w t+y2)+…+ Ak·sin(kw t+yk)+…, (11.1)

где A0 - постоянная составляющая ряда Фурье или нулевая гармоника;

A1·sin(w t+y1) - основная гармоника ряда, имеющая одинаковый с несинусоидальной функцией период (частоту);

Ak·sin(kw t+yk) - k -я гармоника ряда с частотой, в k раз большей частоты основной гармоники. 

Если несинусоидальная периодическая функция f(w t) имеет геометрически правильную форму и легко может быть представлена в виде аналитической функции, то ее разложение в ряд Фурье осуществляется аналитически согласно известным формулам. Результаты такого разложения приведены в справочниках.

При произвольной форме функции  f(w t) ее разложение в ряд Фурье осуществляется графоаналитическим методом. Этот метод основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период несинусоидальной функции f(w t) разбивают на n равных интервалов Dwt= и интегралы заменяют алгебраической суммой n слагаемых. Постоянную составляющую A0 ряда Фурье, амплитуду синусной составляющей Ak¢  k -ой гармоники ряда и амплитуду косинусной составляющей Ak¢¢  k -ой гармоники находят из выражений:

A0 = » = (11.2)

A k¢ = »  (11.3)

Ak¢¢ = »  (11.4)

Где: f(p) – значение несинусоидальной функции в конце p-го интервала (текущий индекс p принимает значения от 1 до n),

sin(k·p) (cos(k·p)) – значение синуса (косинуса) от аргумента в конце p-го интервала с учетом номера гармоники k.

Чем больше число интервалов, тем точнее результат разложения в ряд Фурье. На практике обычно достаточно разделить период на 24 или 18 интервалов.

Если несинусоидальная периодическая кривая симметрична относительно оси абсцисс, то на n равных интервалов разбивают полпериода и по формулам, аналогичным (11.2 – 11.4) находят гармонические составляющие ряда Фурье.

При замене синусного и косинусного рядов одинарным синусоидальным рядом фурье (11.1) используют следующие формулы:

 

Ak =, (11.5)

yk = arctg, если Ak¢ >0; yk =180 o+ arctg, если Ak¢ <0, (11.6) 

где Ak и yk – соответственно амплитуда и начальная фаза k –ой гармоники одинарного ряда.

При построении различных гармоник в одной системе координат необходимо учитывать то, что масштабы по оси ординат для всех гармоник одинаковы, а по оси абсцисс – различны. Масштаб по оси абсцисс для k –ой гармоники должен быть взят в k раз большим, чем для первой гармоники, так как в одном периоде первой гармоники вмещается k периодов k –ой гармоники.

В данной работе используется несинусоидальное периодическое напряжение источника треугольной и прямоугольной форм (рис. 11.1 и 11.2).


Ряд Фурье для напряжения треугольной формы имеет вид:

 

u(w t)=[sinw t - sin3w t+ sin5w t - …],  (11.7)

а для напряжения прямоугольной формы:

 

u(w t)=[sinw t + sin3w t+ sin5w t - …].  (11.8)

При расчете цепи по каждой из гармоник напряжения источника отдельно следует помнить о том, что индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты

XL(k)=k·XL(1),  XL(0)=0; XC(k)= XC(1)/k, XC(0)=¥. (11.9)

Из приведенных соотношений следует, что индуктивность подавляет высшие гармоники в составе кривой тока, делая ее по форме близкой к виду первой гармоники подаваемого напряжения источника. Емкость, наоборот, способствует увеличению высших гармоник в кривой тока, чем делает ее более искаженной в сравнении с кривой питающего напряжения.

Действующие значения несинусоидальных напряжений и токов:

u =,  (11.10)

I =. (11.11)

Мгновенное значение несинусоидального тока равно сумме мгновенных значений токов всех гармоник:

i(w t) = I0 +I1m·sin(w t+y1)+ I2m·sin(2w t+y2)+…+ Ikm·sin(kw t+yk)+…. (11.12)

Домашняя подготовка к работе

1. Согласно номеру варианта (табл.11.1) вычертить график несинусоидального напряжения источника (рис. 11.1 или 11.2), электрическую цепь для проведения исследований (рис. 11.3) и выбрать их параметры (табл.1).

Таблица 11.1. Параметры электрической цепи для исследований.

Номер варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Вид напряжения источника

Напряжения треугольной формы (рис. 11.1)

Напряжения прямоугольной формы (рис. 11.2)

Um, В

10

15

20

25

15

20

10

15

20

25

20

15

r1, Ом

75

75

51

75

100

100

100

51

51

51

75

100

r2, Ом

51

51

75

100

51

51

75

100

75

75

51

75

L, Гн

5

7

10

15

5

7

10

15

5

7

10

15

C, мкФ

5

5

2

2

5

5

2

2

5

5

2

2

2. Разложить несинусоидальное  периодическое напряжение источника u(w t) в ряд Фурье, выполнив расчет для трех гармоник – основной и двух высших. Вычислить действующее значение входного напряжения. Результаты расчета занести в табл. 11.2.

Таблица 11.2. Амплитудные значения различных гармоник входного напряжения и действующие значения напряжения и токов в схеме рис. 11.3.

Исследуемые величины

U1m,

В

U3m,

В

U5m,

В

U,

В

I1,

мА

I2,

мА

I3,

мА

Ur1,

В

Расчет

Эксперимент

-

-

-

3. Для электрической цепи рис. 11.3 при напряжении источника  u(w t) частоты f=1кГц рассчитать мгновенные и действующие значения токов в ветвях и напряжения на резисторе в неразветвленной части цепи. Результаты расчета занести в табл. 2.

4. Построить график мгновенного напряжения ur1(w t) на зажимах резистора в неразветвленной части цепи.

Порядок выполнения работы

1. Собрать схему рис. 11.3 с параметрами элементов, указанными в табл.11.1. Максимальное напряжение источника Um и его частоту f=1 кГц установить по изображению u(w t) на экране осциллографа. Предусмотреть в схеме перемычки для измерения токов в ветвях.

2. С помощью комбинированного прибора измерить действующие значения токов в ветвях, напряжения источника и напряжения на резисторе r1. Результаты измерений занести в табл.11.2. Сопоставить результаты расчета и эксперимента и сделать выводы.

3. Подключить осциллограф параллельно резистору r1 и снять с экрана кривую ur1(w t). С учетом масштабов осциллографа и известного соотношения ur1=i1 ·r1 выполнить графоаналитическим методом разложение графика i1(w t) в ряд Фурье, определив первые три гармоники. Сопоставить полученные результаты с расчетом мгновенного тока i1(w t), выполненным согласно п. 3 подготовки к работе.

4. Индуктивный элемент L (табл.11.1) включить последовательно с резистивным сопротивлением r=10 Ом (регулируемое сопротивление R4 блока резисторов стенда) и при том же источнике питания (f=1 кГц, Um – согласно табл.11.1) снять с экрана осциллографа график напряжения на резисторе, который по форме соответствует графику кривой тока цепи. Сравнить форму кривых напряжения источника питания и тока.

5. Емкостный элемент С (табл.11.1) включить последовательно с резистивным сопротивлением r=10 Ом и при том же источнике питания снять с экрана осциллографа график напряжения на резисторе, который пропорционален току. Сравнить формы кривых напряжения источника питания и тока.

6. По результатам исследований п. 4 и 5 сделать выводы о влиянии индуктивности и емкости на форму кривой тока в этих элементах.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем сущность и каковы особенности методики расчета линейных электрических цепей при несинусоидальных напряжениях?

2. Каков гармонический состав напряжения источника треугольной (прямоугольной) формы?

3. Как изменяются индуктивное и емкостное сопротивления приемников для токов различных гармоник?

4. Чему равны действующие значения несинусоидальных напряжений и токов?

5. Какие значения несинусоидальных функций измеряют приборы различных систем?

6. В каких случаях применяют графоаналитический метод разложения несинусоидальных периодических функций в ряд Фурье и каковы его особенности?

7. Какое влияние оказывают индуктивность и емкость цепи на форму кривой тока при сопоставлении ее с формой несинусоидального напряжения источника?

8. Назовите известные устройства, содержащие несинусоидальные напряжения и токи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов П.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1984. – 752 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высш. шк., 1984. – 558 с.

3. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. В 3 ч.– М.: Энергия, 1978. – Ч.1. Линейные электрические цепи. - 792 с.


Исследование трёхфазных цепей при соединении сопротивлений нагрузки в звезду