Лабораторные работы задачи по электротехнике Методы расчета цепей Задание на курсовую работу Переходные процессы метод контурных токов метод узловых потенциалов метод наложения метод эквивалентного генератора

Электрические цепи переменного тока.

Методические указания к расчету

При расчете цепей синусоидального тока приходится совершать различные математические операции, которые удобно производить над действующими значениями токов и напряжений, рассматривая их как векторы. Значения векторов при этом равны действующим токам и напряжениям, а начальная фаза определяет положение вектора относительно положительной горизонтальной оси координат. При положительной (опережающей) начальной фазе вектор повернут на соответствующий угол против движения часовой стрелки, а при отрицательной (отстающей) - по направлению движения часовой стрелки. Векторной диаграммой называют совокупность векторов, изображающих синусоидальные э. д. с., напряжения и токи одной частоты, выходящих из общей точки.

Для цепей синусоидального тока обычно строят потенциальную (топографическую) диаграмму, каждая точка которой соответствует определенной точке электрической цепи. Чтобы осуществить это соответствие точек диаграммы и цепи, построение потенциальной диаграммы проводят в той же последовательности, в какой обходят электрическую цепь. Обычно направление обхода выбирают противоположным принятому направлению тока в цепи. Для наглядности в некоторых случаях векторные и потенциальные диаграммы объединяют в одну. Необходимо обратить особое внимание на направление векторов на потенциальных диаграммах. Векторы напряжений направлены относительно точек потенциальной диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек цепи.

При построении векторных диаграмм один из векторов принимают за основной (опорный). Его обычно располагают  по положительному направлению горизонтальной оси. В этом случае начальная фаза тока или напряжения, в зависимости от того, что данный вектор изображает, равна нулю. Для последовательной цепи за основной вектор принимают вектор тока, а для параллельной - вектор напряжения.

В том случае, когда сложение или вычитание вектора требуется производить не графически, а математически (например, при расчете электрической цепи), векторы раскладывают на две составляющие, одна из которых называется активной, а вторая - реактивной. Активная составляющая напряжения совпадает но фазе с током, а реактивная - опережает ток или отстает от него по фазе на 90°. Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением, а реактивная - опережает напряжение или отстает от него по фазе на 90°. Зная сдвиг между током и напряжением и значения векторов тока и напряжения, легко определись соответствующие составляющие этих векторов. Например, если нам задан синусоидально изменяющийся ток уравнением вида , его активная и реактивная составляющие для действующего значения соответственно равны:

   

 где

Аналогично для напряжений:  

В том случае, когда необходимо произвести сложение двух или более векторов, выражающих собой токи или напряжения, определяют их активные и реактивные составляющие и модуль результирующего вектора: 

где индексы L, и C указывают на характер реактивной составляющей (индуктивность или емкость). Начальная фаза результирующего вектора определяется через tgφ:

.

Для практических расчетов удобнее выражать векторы тока и напряжения, а также сопротивления и проводимость комплексными числами, в которых активные составляющие являются действительными значениями, а реактивные - мнимыми. Причем знак у мнимого значения зависит от характера реактивной составляющей. При расчете электрических цепей переменного тока с помощью комплексных чисел могут быть использованы методы расчета, применяемые для цепей постоянного тока. Уравнения Кирхгофа в этом случае записываются как соответствующие геометрические суммы.

При выполнении расчетов по методу комплексных чисел следует иметь в виду, что действительная и мнимая части комплексных сопротивлений, проводимости и мощности всегда представляют собой соответственно активную и реактивную составляющие этих значений; что же касается комплексного напряжения и комплексного тока, то такое положение имеет место лишь в частных случаях. Действительная и мнимая части комплексных напряжения и тока определяются начальными фазами значений, иначе говоря, зависят от расположения соответствующих векторов относительно осей комплексной плоскости, тогда как их активная и реактивная составляющие определяются углом сдвига по фазе φ между этими двумя векторами.

Пример выполнения задания

Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока со смешанным соединением приемников, схема которой изображена на рис. 3.1. Дано: {U=120 В, R1 = 10 Ом, R2 =24 Ом, R3 =15 Ом, L1 = 19,1 мГн, С2=455 мкФ; L3=63,5 мГ, f =50 Гц. Определить токи İ1, İ2,, İ3 в ветвях цепи, напряжения на участках цепи  активную, реактивную и полную мощности и построить векторную диаграмму на комплексной плоскости.

Рис. 3.1

Решение.

Выражаем сопротивления ветвей цепи в комплексной форме:

Выражаем заданное напряжение U в комплексной форме. Если начальная фаза напряжения не задана, то ее можно принять равной нулю и располагать вектор напряжения совпадающим c положительным направлением действительной оси. В этом случае мнимая составляющая комплексного числа отсутствует. Ú = U =120 В.

 Полное комплексное сопротивление цепи:

Определяем ток в неразветвленной части цепи:

Токи I2 и Iз в параллельных ветвях могут быть выражены через ток в неразветвленной части цепи:

Токи I2 и Iз можно найти иначе:



Для построения векторной диаграммы определяем падение напряжения на отдельных элементах схемы:

Найдем мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:

Для определения активной и реактивной мощностей полную мощность, выраженную комплексным числом в показательной форме, переводим в алгебраическую форму. Тогда действительная часть комплекса представляет собой активную мощность, а мнимая - реактивную:

откуда Р = 494 Вт; Q = 218 вар.

Активную и реактивную мощности можно найти иначе:

P = P1 +P2 + P3 = I12 · R1+ I22 · R2 + I32 · R3 = 4.52 · 10 +

 2,742 · 24 + 2,742 · 15 = 494 Вт;

Q = Q1 - Q2 + Q3 = I12 · X1+ I22 · X2 + I32 · X3 =

4.52 · 6 + 2,742 · 7 + 2,742 · 20 = 218 вар;

На рис. 3.2 приведена векторная диаграмма токов и напряжений, построенная по расчетным данным. Порядок ее построения следующий: по результатам расчетов отложены векторы токов Í, Í2 и Í3, затем по направлению Í1 отложен вектор Í1R1 и перпендикулярно к нему в сторону опережения - вектор jX1İ1. Их сумма дает вектор Z1İ1. Далее в фазе с İ2 построен вектор R2İ2 и перпендикулярно к нему в сторону отставания вектор jX2İ2, а их сумма дает вектор напряжения на параллельном участке bc. Тот же вектор можно получить, если в фазе с İ3 отложить R3İ3 и к нему прибавить вектор jX3İ3, опережающий İ3 на 90°, Сумма векторов Z1İ и bc - дает вектор приложенного напряжения .

Рис. 3.2 Векторная диаграмма


Экспериментальная проверка методики расчета линейных электрических цепей