Лабораторные работы задачи по электротехнике Методы расчета цепей Задание на курсовую работу Переходные процессы метод контурных токов метод узловых потенциалов метод наложения метод эквивалентного генератора

Общие сведения о переходных процессах

В устройствах производства, передачи и преобразования электрической энергии, в установившемся режиме, токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или сохраняют неизменные значения. Всякое изменение топологии цепи или параметров входящих в нее элементов нарушает характер токов и напряжений, т. е. приводит к тому, что режим работы цепи становится неустановившимся.

Любое изменение режима работы электрической цепи (включение, выключение, переключение каких-либо элементов) называется коммутацией, считается, что она происходит мгновенно. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными.

Во время переходных процессов величины токов в отдельных ветвях и напряжения на отдельных элементах могут в несколько раз превышать значения, соответствующие установившемуся режиму.

При расчете переходных процессов начало отсчета времени переходного процесса совмещают с моментом коммутации, причем через  обозначают момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через  – момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (начальный момент времени после коммутации).

При рассмотрении переходных процессов исключается электрическая дуга, которая возникает при включении и выключении. Чтобы исключить влияние электрической дуги будем считать, что ключ замыкается или размыкается мгновенно, и в момент  коммутация уже произошла.

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что возможно, только если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью. В связи с тем, что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, из этого следуют два закона коммутации.

Первый закон коммутации: ток в ветви, содержащей катушку индуктивности, а также магнитный поток, возникающий в результате изменения тока, при коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации.

Второй закон коммутации: напряжение и заряд на конденсаторе при коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации.

Математически законы коммутации можно записать следующим образом:

;

.

Законы коммутации могут не выполняться в цепях, имеющих узлы с ветвями, содержащими только емкости и источники тока, или контуры с ветвями, содержащими только индуктивности и источники напряжения. Коммутация в таких цепях называется некорректной.

Определение начальных условий при некорректной коммутации производят, используя принцип непрерывности магнитного потока и закон сохранения электрического заряда.

Принцип непрерывности магнитного потока – магнитный поток сквозь произвольно замкнутую поверхность равен нулю: . В линейных электрических цепях магнитный поток L-элемента определяется потокосцеплением, поэтому можно записать: .

Закон сохранения электрического заряда – алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе: .

Основными методами анализа переходных процессов в линейных цепях являются:

1) классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи;

2) операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам;

3) частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза;

4) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия;

5) метод переменных состояний, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в форме Коши.

В настоящем пособии рассматриваются первые три метода анализа переходных процессов, возникающих в линейных электрических цепях.

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

Краткие теоретические сведения

В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляют для схем, полученных после коммутации, основываясь на известных методах расчета электрических цепей, таких как метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов. Решение полученной системы уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.

При этом падение напряжений в активных сопротивлениях r и на реактивных элементах: конденсаторе C и катушке индуктивности L определяются соответственно:

,

  ,

.

Учитывая, что решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную систему сводят к одному дифференциальному уравнению относительно выбранной переменной.

Порядок дифференциального уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением:

,

где  и  – число катушек индуктивности и конденсаторов соответственно после указанного упрощения исходной схемы;  – число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки);  – число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Обозначим искомую функцию времени (напряжение, ток, потокосцепление и т. п.) через x = x(t), тогда дифференциальное уравнение m-го порядка, описывающее переходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздействием источника f(t), имеет вид:

,  (1)

где b0, b1, ..., bm-1, bm – коэффициенты, зависящие от параметров цепи (в дальнейшем будем рассматривать цепи только с постоянными параметрами); f(t) – функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Дифференциальное уравнение (1) относится к линейным неоднородным уравнениям m-го порядка. Как известно из курса высшей математики, его решение есть сумма общего решения xсв однородного дифференциального уравнения m-го порядка:

и частного решения xпр уравнения (1)

х = хсв + хпр.

Частное решение данного неоднородного уравнения, получаемое с учетом внешнего воздействия , называется принужденной составляющей решения хпр и определяется из соотношений для установившегося режима данной цепи после коммутации.

Общее решение однородного уравнения определяет процессы, которые протекают в цепи без участия внешнего воздействия , и называется свободной составляющей хсв. Вид свободной составляющей переходного процесса определяется числом и значениями корней характеристического уравнения:

= 0.

В случае, когда корни  характеристического уравнения вещественные и различные, решение имеет вид:

,

где А1, А2, …, Аm – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий задачи.

В случае, когда корни уравнения – вещественные и равные, т. е.
p1 = p2 = …pm = p, свободная составляющая определяется уравнением:

.

Если корни комплексно-сопряженные , тогда решение имеет вид:

,

где А и  – постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий задачи.

В табл. 1 обобщены данные для определения свободных составляющих дифференциального уравнения m-го порядка.

Таблица 1

Выражения для свободных составляющих

общего решения неоднородного дифференциального уравнения

Вид корней

характеристического уравнения

Выражение

для свободной составляющей

Корни  вещественные и различные

Корни  вещественные и  (n < m)

Пары комплексно-сопряженных корней

Примечание.  – постоянные интегрирования.

Начальные условия задачи определяют значения токов в индуктивностях   и напряжений на емкостях  в момент коммутации. В зависимости от начального энергетического состояния цепи различают два типа задач расчета переходных процессов: задачи с нулевыми начальными условиями, когда непосредственно в момент коммутации ;  и задачи с ненулевыми начальными условиями, когда   и (или) .

Нулевые и ненулевые значения начальных условий для тока в катушке индуктивности  и напряжения на конденсаторе  называются независимыми. Для определения независимых начальных условий в цепи до коммутации (t = 0–) любым известным способом рассчитываем токи в индуктивностях и напряжения на емкостях. Согласно законам коммутации полученные значения и будут являться независимыми начальными условиями. Начальные условия остальных токов и напряжений называются зависимыми. Чтобы определить их, для цепи, образованной после коммутации, составляют уравнения Кирхгофа и записывают эти уравнения для момента коммутации   с учетом законов коммутации. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно искомых величин при .

Если число корней характеристического уравнения больше одного, то необходимо иметь не только начальные условия искомой переменной, но и ее производных. При этом порядок производных, начальное значение которых  необходимо знать, на единицу меньше числа корней характеристического уравнения. Для определения производных при  уравнения Кирхгофа дифференцируют и решают совместно для .

Данный метод применяют для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка. При более высоких порядках определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения представляет собой сложный процесс.


Экспериментальная проверка методики расчета линейных электрических цепей