Лабораторные работы задачи по электротехнике Методы расчета цепей Задание на курсовую работу Переходные процессы метод контурных токов метод узловых потенциалов метод наложения метод эквивалентного генератора

Пример расчета активного полосового фильтра

Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра, полученными в разделах 3.1¸3.3. Причем, не самой нормированной передаточной функцией (3.7), а только ее полюсами (3.6), и, согласно (2.11), найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ. Вначале находим:

Затем сами полюсы:

  (4.1.а)

  (4.1.б)

  (4.1.в)

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения удобно представить в виде таблицы 4.1.

Таблица 4.1

Номера
полюсов

Полюсы H(p)

1,2

0,7032

18,676

3,6

0,3844

20,9351

4,5

0,3188

16,6781

Следует отметить, что чередование пар полюсов в таблице 4.1 значения не имеет.

Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид [1, 2]:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

  

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле

Коэффициенты в знаменателе (4.2) находятся по формулам:

  

где  – значение полюсов (4.1). Например,

  14064;

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 4.2.

Таблица 4.2

Номер
сомножителя

Значения коэффициентов

ai1

bi1

bi0

1

2

3

2,9624×104

2,9624×104

2,9624×104

1,4064×104

0,7688×104

0,6376×104

3,4929×1010

4,38426×1010

2,7826×1010

Подставляя найденные коэффициенты в 4.2 получим:

 

4.3. Расчет элементов схемы фильтра

Подпись:  
Рисунок 4.1
В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 4.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей [1], можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 4.1, в виде

 

Из (4.5) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (4.4) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1; R2; С3; С4; R5 ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (4.4) и (4.5).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (4.4):

  

В системе (4.6) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому рекомендуется задаваться значениями, например, емкостей конденсаторов С3 и С4 (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью нет вообще).

Если принять С3 = С4 = 2 нФ, то решая (4.6), получим:

R1 = 17 кОм, R5 = 71 кОм, R2 = 101 Ом.

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же С3 = = С4 = 2 нФ, получим:

R1 = 17 кОм, R5 = 130 кОм, R2 = 44 Ом.

Аналогично для третьего звена:

R1 = 17 кОм, R5 = 157 кОм, R2 = 58 Ом.

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R1 и R5 в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R2 берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

5. Проверка результатов расчета

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходных требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (3.7) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (4.5). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет

   

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула (5.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью в (4.5) производится замена переменной вида р = jw, в результате чего получают выражение

Находится модуль H(jw) в виде

 

Зная H(w), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

  

где

  

В качестве числового примера выполним расчет первого звена фильтра.

Из раздела 4.3 берем значения элементов:

С1 = С2 = 2 нФ, R1 = 17 кОм, R2 = 101 Ом, R5 = 71 кОм.

Подставляем эти значения в (5.2)

На частоте границы ПП fп2 = 33,75 кГц находим Н1(wп2) = 0,6. На частоте границы ПН fз2 = 36,25 кГц находим Н1(wз2) = 0,387. Кроме того находим Н1(w) на частотах. fп1 = 26,25 кГц и fз1 = 24,43 кГц.

Аналогичные расчеты выполняем для второго и третьего звеньев. Ослабления рассчитываются по формулам (5.3) и (5.4). Все результаты сводятся в таблицу 5.1.

При анализе табличных данных обратить внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра. Если сравнивать рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах (раздел 3.2), то можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии. При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.


В ходе расчета по формуле (5.2) обратить внимание на то, что значение Н(w) наиболее сильно зависит от величины сопротивления R2, поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.

На рис. 5.1 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 5.2 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

Подпись:  
R1, R2, R5 – сопротивления 1-го звена
R¢1, R¢2, R¢5 – сопротивления 2-го звена
R²1, R²2, R²5 – сопротивления 3-го звена
Рисунок 5.2

6. Вопросы для подготовки к защите
курсовой работы

Дайте определение электрического фильтра.

Как классифицируются фильтры по диапазону пропускаемых ими частот.

В чем заключаются требования к электрическим характеристикам фильтров.

Что такое функция фильтрации.

Что значит осуществить нормирование по частоте; по сопротивлению. В чем сущность денормирования.

Фильтры Баттерворта. Начертить графики зависимости ослабления и квадрата модуля передаточной функции от нормированной частоты для ФНЧ.

Тоже самое для фильтров Чебышева.

В чем достоинства и недостатки фильтров Баттерворта и Чебышева.

Как пересчитать требования к характеристикам ПФ, ФВЧ в требования к НЧ-прототипу.

Порядок синтеза пассивных полосовых фильтров.

Порядок синтеза активных полосовых фильтров.

Начертите графики ослабления ПФ для фильтров Баттерворта и Чебышева для разных порядков фильтров.

Как изменяется амплитудный спектр периодических радиоимпульсов при изменении их длительности периода следования и периода несущей частоты.


Литература

Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589 с.

Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 1998. – 444 с.

Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1990. – 544 с.

Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений. – М.: Радио и связь, 1989. – 328 с.

Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. – М.: Радио и связь, 1983. – 752 с.

Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с.


Экспериментальная проверка методики расчета линейных электрических цепей