Лабораторные работы задачи по электротехнике Методы расчета цепей Задание на курсовую работу Переходные процессы метод контурных токов метод узловых потенциалов метод наложения метод эквивалентного генератора

Синтез пассивных полосовых фильтров

Этап аппроксимации. Задано: частоты fп1 и fп2 – границы ПП и частота fз2 – граница ПН справа; ослабление Аmin и Аmax = DА (рис. 2.1, б). Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН

  

находим значение fз1 – граничной частоты ПН слева.

Требования к характеристикам ПФ пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу:

   

при тех же значениях Аmin и Аmax (рис. 2.1, а).

Зная требования к ослаблению ФНЧ можно пересчитать их в требования к АЧХ ФНЧ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ |H(j2pf)|2 = |H(jw)|2. Для унификации расчетов вместо угловой частоты w вводят понятие нормированной частоты W = w/wн, где wн – нормирующая частота. Обычно в качестве wн выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда

  

При синтезе ФНЧ используются универсальные соотношения [1]:

  

  

где y(W) – функция фильтрации; e – коэффициент неравномерности ослабления в ПП. Если в качестве y(W) используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди последних наиболее широкое применение нашли фильтры Баттерворта и Чебышева.

Подпись:  
Рисунок 2.3
У фильтров Баттерворта y(W) = Вm(W) = Wm, где m – порядок фильтра. Характеристика H2(W) = |H(jW)|2, т. е. квадрата коэффициента передачи для таких фильтров разного порядка m приведена на рис. 2.3, а (кривая 1 – характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m = 6, кривая 3 для m = 2). При W = 1 все кривые проходят через точку, зависящую от e. Из анализа рисунка видно, что e действительно определяет неравномерность коэффициента передачи ФНЧ в ПП.

Если в (2.4) положить y(W) = Вm(W), а jW = р, то после преобразований получим передаточную функцию фильтра в виде

  

где H0 = 1/e.

У фильтров Чебышева функция фильтрации y(W) = Тm(W) = = cosm× arccosW для области нормированных частот –1 Ô W Ô 1. Характеристика квадрата коэффициента передачи при разных m показана на рис. 2.3, б (кривая 1 – характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m = 4, кривая 3 для m = 2). Анализ кривых на рис. 2.3, б показывает, что полином Чебышева в интервале 0 Ô W Ô 1 принимает экстремальные значения (min или max) m + 1 раз. Или по иному: порядок фильтра нижних частот Чебышева по кривой H2(W), или по любой другой частотной характеристике фильтра, определяется удвоенным количеством периодов колебаний в ПП, рассчитанном на уровне полосы пропускания. На рис. 2.3, б: граница полосы пропускания по частоте – это W = 1; уровень полосы пропускания – это 1/(1 + e2).

Передаточная функция фильтра Чебышева описывается тем же выражением (2.6), но коэффициент H0 = 1/(e×2m–1).

Анализ кривых на рис. 2.3 показывает, что:

чем выше порядок фильтра, тем выше его избирательность за счет уменьшения переходной области;

при одинаковом порядке m избирательность фильтров Чебышева выше избирательности фильтров Баттерворта;

у фильтров Чебышева ФЧХ в полосе пропускания имеет нелинейный характер за счет волнового характера изменения Н2(W) в ПП.

Итак, этап аппроксимации при синтезе ПФ заканчивается получением функции H(p) для НЧ-прототипа.

Этап реализации. Если фильтр со стороны зажимов 1–1¢ рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой Rн (рис. 2.2), то, можно оперировать понятием входного сопротивления Zвх.1(р) двухполюсника со стороны зажимов 1–1¢:

   

где s(р) – коэффициент отражения, характеризующий несогласованность между сопротивлениями Rг и Zвх.1(р). Если известно Zвх.1(р), то двухполюсник можно реализовать, например, методом Дарлингтона [1, 2]. Один из возможных вариантов реализации схемы названным методом сводится к следующему. Осуществляют нормирование Zвх.1 по сопротивлению, выбирая в качестве нормирующего, сопротивление Rг, а коэффициент отражения записывают через табулированный полином h(р): s(р) = h(р)/v(р). Тогда (2.7) записывают как

   

Например, для фильтров Чебышева третьего порядка сам полином Чебышева равен:

  

а полином h(р) будет:

  

Подставляя h(р) из (2.10) и v(р) из (2.6) в (2.8), записывают Zвх.1(р) в виде цепной дроби и по ней составляют схему двухполюсника, т. е. LC-фильтра нижних частот, нагруженного на сопротивление Rн. Элементы этой схемы представлены величинами, нормированными по частоте и по сопротивлению. Поэтому следующей операцией расчета является операция денормирования значения элементов НЧ-прототипа. После этого, используя формулы преобразования частоты, переходят от схемы НЧ-прототипа к схеме полосового фильтра. Элементы схемы ПФ, очевидно, будут иметь сразу реальные значения.


Экспериментальная проверка методики расчета линейных электрических цепей