Лабораторные работы задачи по электротехнике Методы расчета цепей Задание на курсовую работу Переходные процессы метод контурных токов метод узловых потенциалов метод наложения метод эквивалентного генератора

Задача 14. Груз, подвешенный к пружине, в состоянии равновесия растягивает ее на DL. Определить период колебаний груза.

Решение. В состоянии равновесия на груз действуют сила тяжести mg, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины, модуль которой равен Fупр= k DL, направленная против деформации пружины, то есть вертикально вверх. Эти силы уравновешивают друг друга, mg = k DL. Отсюда , а период колебаний равен .

Задача 15. Математический маятник длиной L укреплен на тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости с углом наклона a. Найти положение равновесия маятника и период его колебаний.

Решение. Поскольку маятник находится на тележке, скатывающейся с наклонной плоскости с ускорением a = g Sin a, то его положением равновесия будет положение, при котором маятник движется относительно плоскости с тем же ускорением а, что и тележка.

На шарик действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити N. Равнодействующая этих сил в положении равновесия и должна сообщить шарику ускорение а: F = ma= mgsin a. Получили выражение, полностью совпадающее с модулем составляющей силы тяжести mg sin a.

Из рисунка 13 видно, что это возможно только в том случае, когда нить маятника перпендикулярна к наклонной плоскости.

Итак, составляющая силы тяжести вдоль плоскости, равная mg sin a, должна обеспечить маятнику ускоренное движение по наклонной плоскости. Сила натяжения, всегда перпендикулярная к траектории движения шарика относительно тележки, тоже не может выступать в роли возвращающей силы. Поэтому остается одна сила - составляющая силы тяжести, перпендикулярная к плоскости и равная mg cos a. Можно сказать, что маятник совершает колебания как бы в ином поле тяжести с ускорением свободного падения g1=gcosa. Период таких колебаний  равен .

Задача 16. Две пружины с коэффициентами упругости k1 и k2 соединены между собой последовательно. Определить период колебаний груза массой m, подвешенного к пружинам.

Решение. Под действием груза пружина растягивается на величину x=x1+x2, где x1=, x2 =. Силы упругости каждой пружины одинаковы и равны силе тяжести груза mg. 

Тогда x =.

Это значит, что последовательное соединение нескольких пружин можно заменить одной эквивалентной пружиной с коэффициентом упругости, вычисляемым по формуле(здесь знак S означает сумму). В нашем случае ; k=. Тогда период колебаний груза равен .

Примечание. Последовательное соединение N одинаковых пружин с коэффициентом упругости k1 можно заменить одной эквивалентной (равноценной по действию) пружиной с коэффициентом упругости  (здесь , значит, ). Период колебаний груза на такой пружине равен .

Задача 17. Две пружины с коэффициентами упругости k1 и k2 соединены между собой параллельно. Определить период колебаний груза массой m, подвешенного к пружинам (рис. 15).

Решение. Под действием силы тяжести груза каждая пружина растягивается на величину x=x1=x2, то есть mg = Fупр1+Fупр2= k1x1+ k2x2= (k1+k2). Значит, такое соединение пружин можно заменить одной эквивалентной пружиной с коэффициентом упругости k = Ski. В нашем случае

k = k1 + k2, тогда период колебаний груза равен .

Примечание. 1. Если N одинаковых пружин с коэффициентом упругости k1 соединены параллельно, то такое соединение  можно заменить одной эквивалентной пружиной с коэффициентом упругости k = Nk1. Период колебаний груза на такой эквивалентной пружине равен.

2. Довольно частой ошибкой учащихся является утверждение, что площадь сечения пружины не влияет на период колебаний пружинного маятника, так как в формулу периода этот параметр не входит пружины не входит. Но увеличение сечения пружины эквивалентно параллельному присоединению к данной пружине другой пружины, а значит, и увеличение коэффициента упругости. Поэтому изменение площади сечения пружины означает изменение числа параллельно соединенных пружин. Например, при увеличении площади сечения пружины в 4 раза, коэффициент упругости увеличивается в 4 раза, что немедленно отражается на частоте и периоде колебаний.

Разобранные задачи еще раз показали, что совершенно различные по своей природе явления описываются одними и теми же математическими уравнениями, т.е. подчиняются единым законам.

Задания

1. Задачи с подсказками решения

1. Шар-зонд, имеющий нерастяжимую оболочку, поднялся на максимальную высоту и совершает малые колебания около положения равновесия. Определить период этих колебаний, считая, что плотность воздуха на такой высоте убывает с высотой равномерно на величину k = 1,2 10-2 r на каждые 100 м высоты. Трением шара о воздух пренебречь.

Подсказка.  Определите силы, действующие на шар, и найдите значение силы, возвращающей шар в положение равновесия при отклонении его на небольшое расстояние х. Для этого рассмотрите вначале положение равновесия шара на высоте h, где плотность воздуха, а значит, и давление его (из уравнения Менделеева-Клапейрона) имеют какое-то конкретное значение. При смещении шара вверх или вниз на небольшое расстояние х изменяется и величина давления воздуха, отчего равновесие шара нарушается. Разница давлений и является причиной возникновения возвращающей силы. Убедитесь, что эта сила квазиупругая, то есть пропорциональна х и направлена к положению равновесия. А затем примените формулу для расчета периода упругих колебаний, выразив коэффициент k из полученной зависимости возвращающей силы от смещения х. Ответ: 180 с.

2. Математический маятник длиной L совершает колебания вблизи вертикальной стенки. Под точкой подвеса на расстоянии L/2 от нее вбит гвоздь. Определить период колебаний маятника.

Подсказка. Период колебаний такого маятника складывается из двух полупериодов: в одном направлении от положения равновесия длина нити равна L, в другом направлении - L/2. Ответ: Т = (1+).

3. Шарик массой 2 г с зарядом 1 мкКл, подвешенный на нити длиной 1 м, совершает колебания в вертикальной плоскости. В этой же плоскости создано однородное электрическое поле, напряженность которого направлена горизонтально, отчего угол между вертикалью и нитью в положении равновесия стал равным 150, а угол между крайними положениями нити равен 900. Определить разность потенциалов между крайними точками колебаний шарика.

Подсказка. Вначале рассмотрите положение равновесия шарика, не забывая, что нить при этом отклонена на 150. Не забудьте, что на шарик, кроме силы тяжести и силы натяжения нити действует сила со стороны электрического поля, направленная так же, как напряженность поля. Условия равновесия позволят вам определить значение напряженности электрического поля. Обратите внимание на угол между крайними положениями шарика (отсчитывайте угол отклонения в одном направлении от положения равновесия, а не от вертикали) и определите углы между нитью и вертикалью в каждом из этих положений. Зная длину нити и углы, образованные нитью с вертикалью, определите расстояние между этими точками вдоль силовой линии. И только после этого, зная напряженность электрического поля и расстояние вдоль силовой линии между точками крайних положений шарика, вы сможете ответить на вопрос задачи. Ответ: 7,2 кВ

4. Определить период колебаний полярной молекулы в однородном электрическом поле, напряжённость которого равна 300 В/см. Полярную молекулу можно представить в виде жёсткой гантельки длиной 10 нм, на концах которой находятся две материальные точки массой 10-24г каждая с зарядами равными по модулю заряду электрона и противоположными по знаку.

Подсказка: Отклоните молекулу на небольшой угол от ее первоначального положения и найдите возвращающую силу. Используя модель математического маятника, обратите внимание, что длина такого маятника равна l/2. Записав выражение для возвращающей силы через отклонение молекулы х, F = Eq sinα = f(х), определите по аналогии, что колебания молекулы квазиупругие. Ответ:  пс. 


Экспериментальная проверка методики расчета линейных электрических цепей