Лабораторные работы задачи по электротехнике Методы расчета цепей Задание на курсовую работу Переходные процессы метод контурных токов метод узловых потенциалов метод наложения метод эквивалентного генератора

Задача 6. Математический маятник (маленький тяжелый шарик, висящий на тонкой длинной невесомой и нерастяжимой нити) отклонили от положения равновесия на небольшой угол и отпустили. Определить частоту и период колебаний маятника.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на маятник при отклонении нити на угол a от вертикали: сила тяжести mg направлена вертикально вниз, сила натяжения нити N направлена по нити от шарика (рис.6).

Направленные под углом друг к другу эти силы дают равнодействующую силу R, направленную по касательной к траектории возвращения шарика к положению равновесия. Под действием равнодействующей силы R маятник будет возвращаться к положению равновесия. Из треугольника, образованного силами mg, N и R, находим R = mg Sin a. Так как из треугольника, образованного нитью и смещением x, следует, что Sin a = x/L, то получаем выражение для равнодействующей силы, которая и является для маятника возвращающей, R = mg x/L. А так как смещение маятника было вправо, а возвращающая сила направлена влево, поставим знак «минус». Получили выражение  . Это равенство по виду напоминает закон Гука для упругих деформаций Fупр= -kx. И хотя возвращающая сила R по природе свой упругой силой не является, зависимость ее от смещения x и направление относительно смещения в точности совпадают с упругой силой. Поэтому коэффициент квазиупругости в нашем случае равен . Тогда частота колебаний и период могут быть найдены как  и .

Задача 7. Чему будет равен период колебаний математического маятника, представляющего собой стальной шарик, подвешенный на нити длиной L, если его опустить в воду? Сопротивлением воды при движении маятника пренебречь.

Решение. Задача подобна предыдущей задаче с разницей лишь в том, что кроме силы тяжести и натяжения нити на маятник действует еще одна вертикальная сила – выталкивающая (архимедова), направленная вертикально вверх. Результирующая вертикальная сила в таком случае равна (mg-FАрх) (рис. 7).

Дальнейшие рассуждения – полная аналогия с задачей 2: возвращающая сила, действующая на маятник, равна . Значит, колебания можно считать квазиупругими (подобными упругим), с коэффициентом квазиупругости, равным . Тогда . Заменив массу шарика выражением ее через плотность и объем m = rшV, и выталкивающую силу ее расчетной формулой FАрх= rвgV, получаем формулу для вычисления периода колебаний: . Здесь rш и rв – соответственно плотности материала шарика и воды.

Примечание. Обратите внимание, что в числителе выражения для возвращающей силы в задаче 6  и в задаче 7  фактически стоит вес тела. Это значит, что в общем случае, когда колебания маятника происходят под действием нескольких вертикальных сил, возвращающая сила будет иметь вид: , если дополнительная вертикальная сила направлена вверх противоположно силе тяжести, и , если дополнительная вертикальная сила направлена вниз, то есть так же, как и сила тяжести.

Задача 8. Определить период колебаний математического маятника в лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением а. Длина нити маятника L.

Решение. Повторяя рассуждения, приведенные в задаче 6, получаем, что возвращающая сила, действующая на маятник, равна . Колебания маятника будут квазиупругими с коэффициентом квазиупругости . Тогда период колебаний маятника равен .

Задача 9. Ареометр массой m представляет собой шарик, заполненный дробью, и цилиндрическую трубку с поперечным сечением S. Он помещен в жидкость с плотностью r. Ареометр погружают в жидкость несколько глубже, чем это нужно для его равновесия, и затем отпускают. Найти период свободных колебаний ареометра (рис. 8).

Решение. В положении равновесия сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой. Если ареометр глубже погружен в жидкость, выталкивающая сила становится больше силы тяжести, возникает равнодействующая сила, направленная вверх. Пройдя по инерции положение равновесия, ареометр оказывается погруженным в жидкость меньше, чем это нужно для равновесия, возникает равнодействующая сила, направленная вниз. Таким образом; изменение выталкивающей силы выполняет роль возвращающей силы: DFАрx = -rg S×x; знак минус говорит о том, что изменение выталкивающей силы противоположно изменению объема погруженной части ареометра. Следовательно, в этом случае DFАрх–квазиупругая сила и k = rg S. Тогда .


Экспериментальная проверка методики расчета линейных электрических цепей