Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Задача 6. Математический маятник (маленький тяжелый шарик, висящий на тонкой длинной невесомой и нерастяжимой нити) отклонили от положения равновесия на небольшой угол и отпустили. Определить частоту и период колебаний маятника.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на маятник при отклонении нити на угол a от вертикали: сила тяжести mg направлена вертикально вниз, сила натяжения нити N направлена по нити от шарика (рис.6).

Направленные под углом друг к другу эти силы дают равнодействующую силу R, направленную по касательной к траектории возвращения шарика к положению равновесия. Под действием равнодействующей силы R маятник будет возвращаться к положению равновесия. Из треугольника, образованного силами mg, N и R, находим R = mg Sin a. Так как из треугольника, образованного нитью и смещением x, следует, что Sin a = x/L, то получаем выражение для равнодействующей силы, которая и является для маятника возвращающей, R = mg x/L. А так как смещение маятника было вправо, а возвращающая сила направлена влево, поставим знак «минус». Получили выражение  . Это равенство по виду напоминает закон Гука для упругих деформаций Fупр= -kx. И хотя возвращающая сила R по природе свой упругой силой не является, зависимость ее от смещения x и направление относительно смещения в точности совпадают с упругой силой. Поэтому коэффициент квазиупругости в нашем случае равен . Тогда частота колебаний и период могут быть найдены как  и .

Задача 7. Чему будет равен период колебаний математического маятника, представляющего собой стальной шарик, подвешенный на нити длиной L, если его опустить в воду? Сопротивлением воды при движении маятника пренебречь.

Решение. Задача подобна предыдущей задаче с разницей лишь в том, что кроме силы тяжести и натяжения нити на маятник действует еще одна вертикальная сила – выталкивающая (архимедова), направленная вертикально вверх. Результирующая вертикальная сила в таком случае равна (mg-FАрх) (рис. 7).

Дальнейшие рассуждения – полная аналогия с задачей 2: возвращающая сила, действующая на маятник, равна . Значит, колебания можно считать квазиупругими (подобными упругим), с коэффициентом квазиупругости, равным . Тогда . Заменив массу шарика выражением ее через плотность и объем m = rшV, и выталкивающую силу ее расчетной формулой FАрх= rвgV, получаем формулу для вычисления периода колебаний: . Здесь rш и rв – соответственно плотности материала шарика и воды.

Примечание. Обратите внимание, что в числителе выражения для возвращающей силы в задаче 6  и в задаче 7  фактически стоит вес тела. Это значит, что в общем случае, когда колебания маятника происходят под действием нескольких вертикальных сил, возвращающая сила будет иметь вид: , если дополнительная вертикальная сила направлена вверх противоположно силе тяжести, и , если дополнительная вертикальная сила направлена вниз, то есть так же, как и сила тяжести.

Задача 8. Определить период колебаний математического маятника в лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением а. Длина нити маятника L.

Решение. Повторяя рассуждения, приведенные в задаче 6, получаем, что возвращающая сила, действующая на маятник, равна . Колебания маятника будут квазиупругими с коэффициентом квазиупругости . Тогда период колебаний маятника равен .

Задача 9. Ареометр массой m представляет собой шарик, заполненный дробью, и цилиндрическую трубку с поперечным сечением S. Он помещен в жидкость с плотностью r. Ареометр погружают в жидкость несколько глубже, чем это нужно для его равновесия, и затем отпускают. Найти период свободных колебаний ареометра (рис. 8).

Решение. В положении равновесия сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой. Если ареометр глубже погружен в жидкость, выталкивающая сила становится больше силы тяжести, возникает равнодействующая сила, направленная вверх. Пройдя по инерции положение равновесия, ареометр оказывается погруженным в жидкость меньше, чем это нужно для равновесия, возникает равнодействующая сила, направленная вниз. Таким образом; изменение выталкивающей силы выполняет роль возвращающей силы: DFАрx = -rg S×x; знак минус говорит о том, что изменение выталкивающей силы противоположно изменению объема погруженной части ареометра. Следовательно, в этом случае DFАрх–квазиупругая сила и k = rg S. Тогда .


Атомные станции

Инженерная графика
Типовой расчет
История
Выставки