Лабораторные работы задачи по электротехнике Методы расчета цепей Задание на курсовую работу Переходные процессы метод контурных токов метод узловых потенциалов метод наложения метод эквивалентного генератора

Метод аналогий в оптико-механических процессах

Задача 4. В поле, на расстоянии 1 км от прямой дороги, стоит и размышляет профессор Очков, большой знаток геометрической оптики. На расстоянии 2 км от ближайшей к профессору точки дороги А находится железнодорожная станция С. Скорость при ходьбе по полю равна 3 км/ч, по дороге - 4 км/ч. За какое минимальное время профессор может добраться до станции? А за какое время он смог бы добраться до середины отрезка АС?

Решение. Профессору нужно решить - идти ли на станцию по полю вдоль прямой или дойти до какой-то точки дороги и дальше шагать по ней с большей скоростью, чем по полю. В зависимости от соотношения скоростей, при заданных положениях начальной и конечной точек пути может быть выгодным как первый, так и второй вариант.

Можно решить задачу «в лоб», обозначив буквой х расстояние от точки А до интересующей нас точки дороги, выразить через х время путешествия и взять от него производную. Минимум может достигаться в точках, где эта производная обращается в ноль, и на границах отрезка АС - их обязательно нужно проверить.

Но намек на геометрическую оптику в условии задачи подсказывает удобную аналогию - ведь луч света всегда выбирает «самую лучшую» траекторию!

Пустим луч света так, чтобы он после «преломления» - выхода в среду с большей скоростью - попал в точку С (рис. 4). При этом угол «преломления» оказывается равным 90°, так что синус угла падения получается равным 0,75 (отношение скоростей - это «коэффициент преломления»). Обозначим нужную точку дороги буквой Б, тогда (поскольку tg α = 1,134 ) АБ = 1134 м и БС = 866 м.

При этом время движения составляет  t1=+=+= 0,72 ч.

А для путешествия в середину отрезка дороги (точку В) выгодно идти прямо по полю - эта точка находится «левее» точки Б. В этом случае, t2 = 1414 /3000 = 0,47 ч.

Физические аналогии в колебательных процессах. Упругие и квазиупругие колебания

Простейшие гармонические колебания совершаются под действием упругой силы, т.е. силы, величина которой пропорциональна смещению x из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению: Fупр= -kx, где k - коэффициент упругости (жесткость) системы, Однако часто, рассматривая малые колебания более сложных систем, тоже удается представить возвращающую силу в виде R = - kx, т.е. пропорциональной смещению из положения равновесия и направленной противоположно ему. Такую силу называют квазиупругой (подобной упругой - приставка «квази» означает «как бы»). Выражение, стоящее перед смещением x, называют коэффициентом квазиупругости, обозначают его k.

Тогда основной закон динамики - второй закон Ньютона для гармонических колебаний может быть записан в виде: . Решением уравнения  является выражение x = x0×sin(wt +j0) или x = x0×cos (wt+j0).

Начальная фаза j0 зависит только от начальных условий. Циклическая частота и период могут быть найдены хорошо известными формулами для пружинного маятника:  или  (вывод этих соотношений дан в задачах 1 и 2), то есть зависят от m и k, характеризующих инертные и квазиупругие свойства системы.

Возвращающая сила R связана со смещением маятника от положения равновесия Х соотношением: R = -kx , где x — величина деформации, k - коэффициент упругости или квазиупругости, зависящий от природы возвращающей силы.

Обратите внимание:  чем больше коэффициент квазиупругости k, тем больше ускорение маятника в любой момент времени и тем меньше период колебаний, то есть маятник совершает колебания быстрее.

Чем больше масса маятника, тем меньше его ускорение и тем больше период колебаний, то есть медленнее происходят колебания.

Основной закон динамики - второй закон Ньютона для гармонических колебаний может быть записан в виде: . Решением уравнения  является выражение x = x0×sin(wt +j0) или x = x0×cos (wt+j0).

Задача 5. Тело массой m, закрепленное на пружине, жесткость которой k, сместили из положения равновесия вправо и отпустили. Определить частоту и период колебаний. Трением тела о плоскость пренебречь (рис. 5).

Решение. Запишем для тела второй закон Ньютона в проекциях на ось х: Fупр = ma, где Fупр- сила упругости, действующая на тело со стороны пружины, а - ускорение тела. Если отклонение тела от положения равновесия в произвольный момент времени t равно x, то по закону Гука Fупр= -kx.

Тогда получаем ma =-kx, или a = -kх/m Сравним полученное выражение с уравнением гармонических колебаний а = - w2x. Очевидно, что k/m = w2. Отсюда получаем  или .


Экспериментальная проверка методики расчета линейных электрических цепей