Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений:

– общее уравнение.

( 2.1 )

Если заданы точка на прямой с радиус-вектором  и направляющий вектор , то для любой точки этой прямой можно записать параметрическое уравнение:

,

( 2.2 )

или каноническое уравнение:

,

( 2.3 )

Расстояние  от точки  с радиус-вектором  до прямой  определяется по формуле:

,

( 2.4 )

где  – радиус-вектор фиксированной точки на прямой, а   - ее направляющий вектор.

Расстояние между двумя прямыми  и  ( и  – не параллельны) вычисляется по формуле:

.

( 2.5 )

Условие пересечения прямых: .

Через прямую в пространстве проходит бесконечно много разных плоскостей, поэтому прямую можно определить системой уравнений бесконечно многими способами.

Чтобы перейти от общего уравнения к параметрическому или каноническому, нужно найти фиксированную точку и направляющий вектор.

Так как прямая задана двумя уравнениями с тремя неизвестными, то одну из координат можно положить равной любому числу (проще всего нулю), затем решить систему относительно оставшихся двух неизвестных. Может случиться так, что система окажется несовместной, то есть на прямой нет точки с такой координатой. В этом случае полагаем другую координату равной нулю (или некоторому числу), и вновь решаем систему относительно двух оставшихся неизвестных.

Направляющий вектор находится как векторное произведение .

Примеры решения типовых задач: прямая в пространстве

Задача 2.12

Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей  и .

Решение: 1) Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы уравнений  исключим . Положим , тогда: , откуда находим: , . Таким образом, нашли координаты фиксированной точки .

2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую:

 .

3) Запишем канонические уравнения: , или .

4) Обозначив , получаем параметрические уравнения:

, , .

Задача 2.13

Найти уравнение прямой, проходящей через точки  и .

Решение: 1) Возьмем в качестве фиксированной точки точку , тогда направляющий вектор определится как .

2) Тогда канонические уравнения прямой запишутся как . 3) В случае, когда в знаменателе канонических уравнений получается нуль, полагают равным нулю числитель, то есть одна из плоскостей определится уравнением: . Ответ: .

Задача 2.14

Вычислить расстояние от точки  до прямой .

Решение: 1) Для определения расстояния необходимо знать координаты фиксированной точки прямой и ее направляющий вектор, что можно определить сразу из заданного уравнения прямой:  и , тогда радиус-вектор фиксированной точки прямой , а длина . 2) Радиус-вектор исходной точки , тогда . 3) Найдем векторное произведение:

,

откуда .

4) Подставляем в формулу определения расстояния ( 2.4 ) найденные значения: . Ответ: .

Задача 2.15

Найти точку пересечения плоскости  с прямой, заданной общими уравнениями:

 .

Решение: Решение сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными: , откуда находим , , .

Ответ: .

Задача 2.16

Найти точку пересечения плоскости  с прямой, заданной каноническими уравнениями:.

Решение: Можно было бы перейти от канонических уравнений к общему виду и свести задачу к рассмотренной в предыдущем примере. Но можно рассуждать и по-другому. Точка пересечения должна принадлежать и прямой и плоскости, то есть можно подставить выражения для  из канонического уравнения в уравнение плоскости и определить их.

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

, откуда , , .

Подставим найденные выражения в уравнение плоскости:

, откуда .

Подставляем в выражения для , находим ответ: , , . Ответ: искомая точка .

Примеры решения типовых задач по математике