Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости

Задача 2.1

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Решение: Обозначим точки соответственно  и ; согласно формуле ( 2.5 ) имеем: . Избавимся от дроби: . Раскрыв скобки и перенеся все члены в одну сторону, получаем: . Ответ: .

Задача 2.2

Составить уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой .

Решение: Так как искомая прямая по условию задачи должна быть параллельной исходной, это значит, что они имеют один угол наклона к оси . Угол наклона исходной прямой можно определить из формулы ( 2.6 ): . Исходная прямая задана в общей форме, следовательно для нее ; ; подставляя значения коэффициентов исходной прямой, находим . Обозначим координаты точки  как , имеем , ; прямую, проходящую через эту точку, можно описать уравнением с угловым коэффициентом ( 2.7 ); подставим в него известные значения, получим: . Проведя несложные преобразования, получим искомое уравнение: .

Замечание: можно было провести и другие рассуждения:

Прямые должны быть параллельны, это значит, первые два коэффициента в уравнении у них должны быть одинаковы ( – имеет одно значение), следовательно, нужно найти только значение свободного члена ; по определению , где  – известны из исходного уравнения: ; , а  – координаты начального радиус-вектора.

Нормаль у параллельных прямых – общая, значит, начальный радиус-вектор можно провести через заданную точку : ; подставив ее координаты в выражение для , получаем: .

Подставляем в искомое уравнение, получаем искомое уравнение.

Ответ: .

Задача 2.3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой .

Решение: Искомая прямая является нормалью к заданной прямой, поэтому для решения можно использовать уравнение в канонической форме (формула ( 2.4 )). В формуле:  – координаты направляющего вектора исходной прямой, в нашем случае они совпадают по значению с коэффициентами  из исходного уравнения: ; .  – координаты заданной точки, то есть ; . Подставляя значения в формулу ( 2.4 ), получаем: . Решая данное уравнение, получаем ответ. Ответ: .

Задача 2.4

Две стороны квадрата лежат на прямых  и . Вычислить его площадь.

Решение: Из заданных уравнений прямых следует, что они параллельны (коэффициенты  и  – одинаковы). Для нахождения длины стороны квадрата нужно найти расстояние от одной прямой до другой. Это можно сделать, взяв точку на одной прямой и определить расстояние от нее до другой прямой. Возьмем первую прямую: , пусть , подставив это значение в уравнение, получим уравнение относительно , откуда найдем . Таким образом, получим точку, принадлежащую первой прямой: .

Расстояние от точки с известными координатами до прямой определяем с помощью формулы ( 2.11 ): .

Теперь определяем площадь: . Ответ: .

Задача 2.5

По известным координатам вершин треугольника , ,  записать для его сторон уравнения в общем виде и уравнение в общем виде биссектрисы угла .

Решение: Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение стороны в канонической форме – формула ( 2.4 ), от которого легко перейти к уравнению в общей форме. Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).

Найдем уравнение стороны . В качестве точки прямой можно взять точку   с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора – вектор . Найдем координаты вектора :

Тогда каноническое уравнение стороны  запишется как: , или .

Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника: для стороны : координаты вектора .

Откуда каноническое уравнение: . Следовательно, общее уравнение: .

Для стороны : координаты направляющего вектора .

Каноническое уравнение: , или .

Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах  и  треугольника отложить орты (соответственно   и ) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов  и ).

Для нахождения орта  необходимо знать координаты вектора :

, откуда   и, соответственно  определится как:

 (Рис. 2.5).

Рис. 2.5. Иллюстрация решения задачи 2.5

Аналогично определим орт :

;

. Теперь определим их сумму:

.

Тогда каноническое уравнение биссектрисы:

.

Ответ: .

Примеры решения типовых задач по математике