Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Пример 60. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно  и находим     

Согласно формуле (2.20) получим

Задания для самостоятельного решения

Вычислить длины дуг кривых:

1.  между точками пересечения с осью  

2.  3.   от

 до   4.  от  до

Ответы. 1.  2.  3.  4. .

3). Вычисление объема тела вращения плоской фигуры.

Если тело образуется при вращении вокруг оси  криволинейной трапеции, то любое его плоское сечение, перпендикулярное к оси  будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой  Объем тела вращения определяется формулой

  (2.22)

Если тело образуется при вращении криволинейной трапеции, прилежащей к оси  то объем тела вращения определяется формулой

  (2.23)

Пример 61. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  (одной волной),  вокруг оси

Решение. Построим плоскую фигуру, вращение которой вокруг оси   образует нужное тело:

Искомое тело состоит из двух тел одинаковых объемов, тогда  Найдем

 

 Тогда искомый обьем

Пример 62. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  вокруг оси

Решение. Построим данную плоскую фигуру. Графиком функции  или  является парабола, симметричная оси ветви направлены вверх, вершина лежит в начале координат. Графиком функции  или  является прямая

Найдем абциссы точек  и

 

Объем полученного тела вращения можно найти как разность объемов тела, образованных вращением вокруг оси  трапеций  и

Объем  образованный вращением трапеции  найдем по формуле (2.22):

Объем  образованного вращением криволинейной трапеции   также найдем по формуле (2.22):

Тогда искомый обьем

Примеры решения типовых задач по математике