Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1). Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  ( непрерывна), прямыми   и осью  вычисляется по формуле

  (2.15)

Площадь фигуры, ограниченной кривой  (), непрерывная, прямыми  и осью равна

  (2.16)

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми  и  () и двумя прямыми  и  находится по формуле

  (2.17)

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси её следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы

Здесь непрерывные и неотрицательные функции  и  пересекаются в точке с абциссой

  (2.18)

Пример 54. Найти площадь фигуры, ошраниченной осью  графиком функции  прямыми  и

Решение. Графиком функции  является парабола, симметричная относительно оси ветви которой направлены вверх, вершина лежит в точке с координатами (0;2).

Найдем площадь фигуры по формуле (2.15)

Пример 55. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и

Решение. Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (0;4), симметричная относительно оси  Графиком второй функции  также является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины   то есть вершина в точке (1;-1), парабола симметрична относительно прямой  Построим данную фигуру, площадь которой требуется найти

Найдем абциссы точек пересечения двух графиков:

  

  Получили, что   Согласно формуле (2.17), получим

Пример 56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями   

Решение. Показательная функция  возрастающая, так как основание степени больше единицы (2>1). Показательная функция убывающая, так как Построим графики данных функций

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций  и      

Прямой  разобьем данную фигуру на две, тогда

Найдем точку пересечения графиков функций  и

    тогда, согласно формуле (2.17), получим

Найдем точку пересечения графиков функций  и     тогда, используя формулу (2.17), получим:

Таким образом, площадь данной фигуры равна

.

Примеры решения типовых задач по математике