Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Пример 45. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку  тогда    при   при   Получим интеграл

Пример 46. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

Обозначим  тогда   при   при   Подставляя полученные результаты в данный интеграл, получим

Пример 47. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку  тогда

  при   при   Тогда получим

Пример 48. Вычислить интеграл

Решение. Пусть ; при  , при  ;

.

Данный интеграл примет вид:

.

Пример 49. Вычислить интеграл .

Решение. Заменяя переменную при помощи подстановки  найдем    при   при  

Подставляя, получим

Пример 50. Вычислить интеграл

Решение. При решении данного интеграла можно воспользоваться универсальной подстановкой  Проверим возможность использования одной из частных подстановок   или  По условию дана рациональная функция относительно  и  

 Данная функция является четной относительно  поэтому подстановкой  воспользоваться не можем.

Функция нечетная относительно , поэтому используем подстановку  тогда  при  при   Данный интеграл примет вид:

Если функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке  то имеет место формула

 . (2.14)

Формула (2.14) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет тот же вид, что и в неопределенном интеграле, поэтому все рекомендации для интегралов, берущихся по частям, данные для неопределенных интегралов (пункт 1.4), справедливы и для определенных интегралов.

Пример 51. Вычислить интеграл

Решение. Данный интеграл относится к первой группе интегралов, берущихся по частям, поэтому     тогда согласно формуле (2.14) получаем

Пример 52. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл относится ко второй группе интегралов, берущихся по частям. Положим   тогда   Подставляя в формулу (2.14), получаем

Пример 53. Вычислить интеграл

Решение. Дан интеграл третьей группы интегралов, берущихся по частям:тогда

Подставим полученные результаты в формулу (2.14)

 

 

Получили алгебраическое уравнение относительно данного интеграла:

Решим это уравнение:

 тогда

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

1.  2.   3.  4.

5.  6.   7.  8.

9.  10.   11.  12.

13.  14.   15.  16.

17.  18.   19.

20.

Ответы. 1.  2.  3.  4.  5.

6.  7.   8.  9.  10.  11.  12.

13.  14.   15.  16.  

17.  18.   19.  20.

Примеры решения типовых задач по математике