Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Аналитическая геометрия

 Уравнение линии

Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Определение 2.1. Уравнение  называется уравнением линии  относительно заданной системы координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной из точек, не лежащей на ней.

Линию  еще называют кривой, а ее уравнение – уравнением в общем виде или в неявной форме.

Примеры линий

2.1. . Этому уравнению удовлетворяют точки, у которых абсцисса равна ординате, то есть данное уравнение описывает биссектрису I и III квадрантов (Рис. 2.1).

2.2. . Данное уравнение описывает биссектрису II и IV квадрантов (Рис. 2.1).

 

Рис. 2.1. Биссектрисы I и III квадрантов, II и IV квадрантов

2.3. . Этому уравнению удовлетворяют точки обеих биссектрис (и только они).

2.4. Для точек, лежащих на окружности также можно записать уравнение в виде: , где   – центр окружности,  – радиус,  - точка, принадлежащая окружности (2.2). Действительно, по определению окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от центра на расстояние . Вектор  имеет координаты , значит, квадрат его длины равен .

Рис. 2.2. Окружность есть геометрическое место точек

 Уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим точку  с координатами  и ненулевой вектор  (2.3).

Рис. 2.3. Радиус – векторы точек

Обозначим точкой  – начало координат, точка  с координатами  – переменная точка, лежащая на прямой, проведенной через точку  перпендикулярно вектору . Тогда соединяя точки  и  с началом координат , получим радиус – векторы точек –  и , и .

Вектор  перпендикулярен вектору , следовательно, их скалярное произведение равно 0:

.

( 2.1 )

Данное уравнение называется уравнением прямой через ее нормаль. Перепишем данное уравнение в координатной форме: . Точка  – неподвижна, обозначив выражение , получим общее уравнение прямой:

.

( 2.2 )

Еще раз напомним геометрический смысл величин, входящих в уравнение:   – координаты вектора , перпендикулярного к исходному вектору, проходящему через точку с координатами . Свободный член .

Так как в общее уравнение входят только первые степени  и , то говорят, что прямая на плоскости есть линия первого порядка.

Данное уравнение связывает координаты линии и перпендикуляра к ней. Но точно также можно построить уравнение, связывающее две параллельные прямые.

Проведем параллельно прямой, проходящей через точку  вектор , который называется направляющим вектором прямой. Так как коллинеарные вектора отличаются друг от друга только величиной некоторого скаляра (обозначим его ), то тогда можно записать следующее уравнение, которое называется параметрическим уравнением прямой:

.

( 2.3 )

Или переписав в координатной форме, имеем: , исключив параметр , получаем каноническое уравнение прямой:

.

( 2.4 )

В частности, если прямая проходит через две заданные точки с координатами  и , то каноническое уравнение можно переписать в виде:

.

( 2.5 )

Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной  и, приняв условие, что , получим следующее уравнение:

,

( 2.6 )

где ,  при . Данное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом и позволяет определить всякую прямую, расположенную под углом, относительно исходной. Коэффициент  – есть тангенс угла наклона прямой к оси   (Рис. 2.4),  – ордината точки пересечения прямой с осью .

Рис. 2.4. Коэффициент 2 – есть тангенс угла наклона прямой к оси

Как правило, уравнение с угловым коэффициентом используют в несколько другой форме. Пусть на прямой имеется некоторая точка с известными координатами , тогда уравнение этой прямой можно записать: , откуда , тогда уравнение прямой запишется в виде: , или

.

 

Вернемся к общей форме уравнения прямой ( 2.2 ). При условии, что , разделим все члены уравнения на свободный член: , обозначив  и , получаем уравнение прямой в отрезках:

.

( 2.8 )

При  имеем , а при  соответственно . Таким образом, числа  и  есть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

Если две прямые заданы своими уравнениями в общем виде:  и , то угол между ними можно определить по формуле:

,

( 2.9 )

а если прямые заданы в виде  и , то по формуле:

.

( 2.10 )

Расстояние от точки  до прямой  находится по формуле:

.

)

При решении задач, прежде всего, обращают внимание на известные величины и в зависимости от них составляют уравнение прямой. Или, наоборот, по известному уравнению анализируют геометрические свойства прямой.

Примеры решения типовых задач по математике