Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральной суммы и его геометрический смысл

Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке  Выполним следующие действия:

 1) с помощью точек  разобьем отрезок  произвольным способом на  частичных отрезков длиною

 2) в каждом частичном отрезке  выберем произвольную точку  и вычислим значение функции в ней, то есть величину

3) умножим найденное значение функции  на длину  соответствующего частичного отрезка:

4) составим сумму  всех таких произведений . (2.1)

Сумма вида (2.1) называется интегральной суммой функции  на отрезке  Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка: 

5) найдем предел интегральной суммы (2.1), когда  так, что

Если при этом интегральная сумма  имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается  Таким образом,

  (2.2)

Числа  и  называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, переменной интегрирования, отрезок областью (отрезком) интегрирования.

Функция  для которой на отрезке  существует определенный интеграл  называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке то определенный интеграл  существует.

Непрерывность функции является достаточным условием её интегрируемости.

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции  снизу – осью  сбоку – прямыми  и

2.2. Формула Ньютона-Лейбница.

Основные свойства определенного интеграла

Пусть функция  интегрируема на отрезке

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке  и какая-либо её первообразная на  то имеет место формула

  (2.3)

Равенство (2.3) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если ввести обозначение то формулу Ньютона-Лейбница (2.3) можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции   на отрезке  надо найти её первообразную функцию  (в этом состоит связь определенного интеграла с неопределенным) и взять разность  значений этой первообразной на концах отрезка

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке

1. Если постоянное число и функция  интегрируема на то

  (2.4)

то есть постоянный множитель  можно выносить за знак определенного интеграла.

2. Если функции  и  интегрируемы на тогда интегрируема на  их алгебраическая сумма и

 (2.5)


то есть интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов. Это свойство распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

3. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла изменяется на противоположный: 

 . (2.6)

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования (интеграл в точке) равен нулю:

  (2.7)

5. Если функция  интегрируема на  и  то

  (2.8)

то есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла. Кроме того, свойство справедливо при любом расположении точек  (считаем, что функция  интегрируема на большем из получающихся отрезков).

6. «Теорема о среднем». Если функция  непрерывна на отрезке то существует точка  такая, что

  (2.9)

7. Если функция  сохраняет знак на отрезке где то интеграл  имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке то

8. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке  можно интегрировать. Так, если  при  то

9. Если  и соответственно наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке то

  (2.10)

10. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции

  (2.11)

11. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть

  (2.12)

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

2.3. Основные методы интегрирования

Согласно формуле Ньютона-Лейбница  при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную  или неопределенный интеграл а затем вычислить разность  значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается на тождественных преобразованиях подынтегральной функции.

Пример 40. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых:

Пример 41. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 42. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 43. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию. Для этого числитель дроби почленно разделим на знаменатель:

Используя свойство 2 определенного интеграла, получим

Рассмотрим каждый интеграл отдельно. Умножим и разделим числитель первой подынтегральной функции на 2:

Согласно соотношению  получим

Во втором интеграле воспользуемся свойством 1:

Значит, данный интеграл равен

При вычислении определенных интегралов широко используются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции сделана подстановка

Теорема. Если:

1) функция  и её производная  непрерывны при

2) множеством значений функций  при  является отрезок

3)   тогда

 

 (2.13) 

Формула (2.13) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что:

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки  применяют подстановку

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Примеры решения типовых задач по математике