Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа   называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Первые два интеграла находятся следующим образом: под радикалом выделяется полный квадрат, затем основание полного квадрата обозначается новой переменной. После необходимых преобразований, выполненных над подынтегральным выражением, получаем табличные интегралы. Интегралы третьего вида подстановкой  приводятся к виду первых двух интегралов.

Пример 27. Найти интеграл

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:  Введем новую переменную   тогда    

Данный интеграл примет вид:

Пример 28. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделяя полный квадрат: 

Воспользуемся подстановкой  тогда   

Подставим полученные выражения в данный интеграл и преобразуем его:

Найдем отдельно каждый интеграл. Для нахождения первого интеграла воспользуемся методом замены переменной:

Рассмотрим второй интеграл

Возвращаясь к данному интегралу и исходной переменной интегрирования   получаем:

 Пример 29. Найти интеграл

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен  Введем новую переменную  тогда   

Рассмотрим каждый интеграл отдельно.

Исходный интеграл будет равен

Возвращаясь к данной переменной интегрирования окончательно получим:

Пример 30. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся подстановкой  тогда Получим интеграл:

Воспользуемся еще раз подстановкой: тогда Подставляя полученные выражения в последний интеграл, получим:

Вернемся к данному интегралу и исходной переменной интегрирования

Если подынтегральная функция содержит иррациональности разных показателей корней, тогда подстановка где наименьшее общее кратное показателей корней, сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример 31. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся методом подстановки, обозначив  так как наименьшее общее кратное показателей корней два и четыре, тогда  

Подставляя в данный интеграл, получим:

Получили подынтегральную функцию, которая является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть, а для этого разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя:

 

Таким образом

Подставим в последний интеграл полученную функцию и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу и переменной интегрирования  получим:

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.  2.   3.  4.

5.  6.   7.  

8.  9.   10.

11.  12.   13.

14.

Ответы. 1.  

2.  3.

4.  5.

6.  7.

8.  9.

10.

11.  12.

13.  

14.

Примеры решения типовых задач по математике