Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Формула Грина.

Криволинейный интеграл второго рода по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D, может быть преобразован в двойной интеграл по области D ограниченной этим контуром L по формуле Грина.

Конечная область D называется односвязной, если она ограничена единственным замкнутым контуром.

Теорема. Пусть функции  и их частные производные непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L. Тогда имеет место формула Грина

,

при этом выбирается положительное направление обхода замкнутого контура L, то есть обход контура L совершается так, что область D все время остается слева.

Замечание. Если  то из формулы Грина получаем следующую формулу для вычисления площади плоской фигуры D

Также для вычисления площади с помощью КРИ-2 применяют формулы

, .

Пример2.3. Применив формулу Грина, вычислить , где L – контур треугольника ОАВ с вершинами в точках О(0, 0), А(1, 0), В(0, 2) (пробегаемый в положительном направлении) и подынтегральные функции

Решение. Построим контур L на координатной плоскости:

 

Составим уравнение прямой АВ, используя формулу

уравнения прямой по двум точкам . Имеем

Найдём частные производные 

Тогда по формуле Грина имеем

где D – треугольник ОАВ. Вычислим двойной интеграл.

 

Пример 1. Найти интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию  тогда

Проверка. Найдем дифференциал полученной функции:

Сравнивая полученный дифференциал с подынтегральным выражением данного интеграла, убеждаемся в том, что интеграл найден верно (согласно второму свойству неопределенного интеграла).

Примеры решения типовых задач по математике