Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Приложение двойного интеграла.

1. Геометрический смысл двойного интеграла. Если функция f(x,у) непрерывна и неотрицательна в области D, то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндрического тела (цилиндроида), построенного на области D как на основании и ограниченного сверху поверхностью , образующие которого параллельны оси Oz.

2. Если f(х, у) =1 для всех (х, у)Î D, то  численно равен площади области D.

3. Если  - плотность пластинки D, то - масса плоской пластинки D.

Пример 1.3. Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность в каждой её точке .

Решение. Область интегрирования D ограничена прямой и параболой (или  – это парабола с вершиной в точке (0, -1), симметричная относительно оси Oy, ветви направлены вверх). Найдем координаты точек пересечения прямой и параболы. Для этого решим систему:

Сделаем чертеж области D.

Масса неоднородной пластины D с поверхностной плотностью  вычисляется по формуле

.

В нашем случае .

Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле надо спроецировать область D на ось Ох. Получится отрезок [-2; 1]. Этим определяются нижний предел -2 и верхний предел 1 изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на отрезке [-2; 1] оси Ох выбираем произвольную точку х, через которую проводим луч, параллельный оси Оу в ее направлении. Нижним пределом будет значение переменной у из уравнения той линии в которую луч вошел (), а верхним – значение переменной y из уравнения той линии из которой луч вышел ( или ).

=.

Считая при вычислении внутреннего интеграла х постоянной, имеем

==

Итак, масса неоднородной пластины D, ограниченной линиями , с поверхностной плотностью в каждой её точке равна 19,8.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Криволинейный интеграл I рода.

Пусть на плоскости xOy задана кривая линия L – гладкая, т.е. функции входящие в ее уравнение являются непрерывными вместе со своими производными. И пусть в каждой точке кривой L определена непрерывная функция  двух независимых переменных х и у.

Разобьем дугу АВ кривой L на n частей точками А0=А, А1, А2,…, Аn=В.

На каждой части Аi Аi+1 выберем любую точку . Вычислим в этой точке значение заданной на кривой L функции . Число  умножим на длину дуги. Сложим все эти произведения и получим интегральную сумму

Отыщем предел этой суммы при условии, что наибольшая из дуг стремится к 0, а их число .

Если существует конечный предел интегральной суммы Sn, когда длины всех малых участков  стремятся к 0, при , независящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек внутри малых частей, то он называется криволинейным интегралом 1-го рода (КРИ-1) от функции  по кривой  и обозначается символом

.

Теорема. Если функция  непрерывна во всех точках гладкой ограниченной кривой , то КРИ-1 существует.

По аналогии с вышесказанным, если L пространственная кривая, то криволинейным интегралом, распространенным на эту кривую, называется интеграл вида

,

 где  - функция трех независимых переменных, определенная в каждой точке кривой , причем

.

2.2. Свойства криволинейного интеграла I рода.

10.

20.

30.

40. Если интегрируема наи кривая разбита на части точкой С, то

50. Если в каждой точке кривой  плотность ρ масс, распространенных вдоль кривой является заданной функцией координат этой точки, то есть , то масса mL этой кривой равна КРИ-1:

.

60. Если , то криволинейный интеграл 1-го рода равен длине кривой L между точками А и В, т.е. .

2.3. Вычисление криволинейного интеграла I рода.

1) Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

 где параметр t изменяется на дуге  от t=α до t=β, а функции x(t), y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными, то КРИ-1 вычисляется по формуле

.

Замечание. Если  кривая в пространстве, то  и КРИ-1 вычисляется по формуле

2) Пусть кривая L задана на плоскости xOy явно уравнением, где функция  непрерывна вместе со своей производной. Представим  в виде , тогда КРИ-1 вычисляется по формуле

.

Замечание. Если кривая L задана уравнением , то КРИ-1 вычисляется по формуле

.

Пример2.1. Вычислить массу m дуги окружности , лежащей в первой четверти, если плотность в каждой её точке .

Решение. Масса m дуги  с плотностью в каждой её точке  вычисляется по формуле

Из уравнения окружности выразим у:и найдём

  .

Тогда   =

Дуга окружности , лежащая в первой четверти, находится между точками . Тогда масса

Примеры решения типовых задач по математике