Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Элементы линейного программирования

Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 у.е, пятитонного – 5000 у.е. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

Решение. Пусть приобретено  трехтонных и  пятитонных

 автомашин. Из условия задачи имеем 

 ≤ 20 

0 ≤  ≤ 18 

4+ 5 = 150 . (1)

Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна

 L = 3 + 5 . (2)

Задача состоит в нахождении такого решения системы (1) , при котором линейная форма (целевая функция) (2) принимает наибольшее значение.

Графический метод решения

В прямоугольной системе координат  построим многоугольник

OABCD, образованный прямыми = 0 (OD),  =20 (AB),  = 0 (AO ),  = 18 ( CD), 4 + 5 = 150 ( BC) и прямую 3 + 5 = 0 (l) ( рис. 9 ).

Системе (1) удовлетворяют координаты точек, лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него. Так как прямые (l) и BC не параллельны, то для нахождения оптимального решения системы (1), для которого линейная форма (2) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеют следующие координаты: А (20; 0), В (20; 14), С (15, 18), D (0; 18). Подставляя координаты этих точек в (2), получим:

 

 L (A) = L (20; 0 ) = 60; L (B) = L (20; 14) = 130;

 L (C) = L (15; 18) = 135; L (D) = L (0; 18) = 90.

Рис. 9

Следовательно, L = L (15; 18) = 135, то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин, при их общей грузоподъемностью 135 т.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.

Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

 

Пример 1.1. Изобразить область интегрирования и изменить порядок интег­рирования в повторном интеграле

.

Решение. Выпишем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования D. Т. к. они должны быть разрешены относительно той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл, то имеем . Сделаем чертеж области D.

Получили, что область D в данном случае – это треугольник ОВС.

Изменим порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем производить по переменной х, а внешнее по переменной у. Сделаем тот же чертеж еще раз.

 

Из чертежа видно, что левая часть границы области D – одна линия, а именно, y=x, а его правая часть состоит из двух линий ОВ и ВС, опреде­ляемых разными уравнения­ми: (или, что то же самое, ) и х=4. Следует область разбить на части так, чтобы каждая из них справа ограничивалась тоже одной линией. Такими частями будут (D1) - треугольник ОАВ и (D2) - треугольник ABC. Интеграл представляется как сумма интегралов

.

Пределы интегрирования в первом повторном интеграле получены так: область D1 спроецирована на ось Оy. Получится отрезок [0; 2]. Этим были определены нижний предел 0 и верхний предел 2 изменения переменной y во внешнем интеграле. Затем на отрезке [0; 2] оси Оy выбрана произвольная точка y, через которую проведена прямая, параллельная оси Оx, и на ней рассмотрен отрезок KL, содержа­щийся в области D1. Переменная x изменяется в области D1 от ее значения   на левой части контура ОАВ до ее значения 2y на правой части этого контура. (Уравнения линий, ограничивающих область D1, должны быть разрешены относительно той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл).

Пределы интегрирования во втором повторном интеграле получены так: область D2 спроецирована на ось Оy. Получится отрезок [2; 4]. Этим были определены нижний предел 2 и верхний предел 4 изменения переменной y во втором внешнем интеграле. Затем на отрезке [2; 4] оси Оy выбрана произвольная точка y, через которую проведена прямая, параллельная оси Оx, и на ней рассмотрен отрезок МN, содержа­щийся в области D2. Переменная x изменяется в области D2от ее значения  на левой части контура АВC до ее значения 4 на правой части этого контура. (Уравнения линий, ограничивающих область D2, должны быть разрешены относительно той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл).

Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл  по области D, ограниченной линиями .

Решение. Область интегрирования D ограничена прямыми  (осями координат) и окружностью   (для возведем в квадрат последнее равенство, получим ). Сделаем чертеж области D.

Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле надо спроецировать область D на ось Ох. Получится отрезок [0; 1]. Этим определяются нижний предел 0 и верхний предел 1 изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на отрезке [0; 1] оси Ох выбираем произвольную точку х, через которую проводим луч, параллельный оси Оу в ее направлении. Нижним пределом будет значение переменной у из уравнения той линии в которую луч вошел (у=0), а верхним – значение переменной y из уравнения той линии из которой луч вышел ().

=.

Считая при вычислении внутреннего интеграла х постоянной, имеем

====.

Примеры решения типовых задач по математике