Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Ряды

 Задача 14. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству

, или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При   данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при n→ ∞ . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,

  принадлежит области сходимости данного ряда.

При  данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость

Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при x =  исходный ряд сходится.

Таким образом,  - область сходимости данного ряда .

Задача 15. Вычислить  с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на , имеем:

Тогда

 .

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

.

Вопросы для самопроверки

Что называется числовым рядом?

Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

Какой числовой ряд называется сходящимся?

Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?

Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

Как найти область сходимости степенного ряда? 

Запишите разложение в степенной ряд функций , sin x, cos x, 

  , ln (1+x) .

Как обеспечивается требуемая точность при применении степенных рядов в приближенных вычислениях?

Примеры решения типовых задач по математике