Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Приложения производной

Задача 9. Исследовать функцию у= и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах (−∞; 1) и (1; ∞).

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств = (тогда f(х) – четная функция) или  =  (для нечетной функции) для любых х и −х из области определения функции:

 ==−

Следовательно,  и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у'=

у'=0 при  и у' − не существует при . Тем самым имеем две критические точки:    Но точка  не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): (−∞; 0), (0; 1), (1; ∞).

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительная и данная функция возрастает. При переходе через точку  первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точку функция имеет минимум: уmin=y(0)=−1. Значит, А(0; −1) − точка минимума.

 

На рис. 5 знаками +, −указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелами – возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

у''=− 

 


Рис. 5

у''=0 при  и у''− не существует при . Разобьем числовую ось на три интеграла (рис. 6); (−∞; −), (−; 1), (1; ∞). На первом интервале вторая

производная у''=0 при  − абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В - точка перегиба графика функции.

 


X

 

1

 

 
  

Рис. 6

6.  − точка разрыва функции, причем .

Поэтому прямая  является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты  воспользуемся формулами:

 .

Тогда

,

.

Значит прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

Рис. 7

Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной.

Обозначим через дм − сторону основания, дм− высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна , а объем V=. Отсюда:

= и S=

Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

S'=2

Отсюда  S'>0 при >6, S'<0 при <6. Следовательно, при  функция S имеет минимум. Если , то =3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 л будут наименьшим, если он имеет размеры 6дмХ6дмХ3дм.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теоремы Роля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? убывающей?

3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называются стационарными? критическими?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

9. Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.

11. В каком случае применяется првило Лопиталя при вычислении пределов?

Примеры решения типовых задач по математике