Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Производная и дифференциал

Задача 8. Найдите производные функции:

а) у=ln ;

б) у= ;

в) .

Решение: а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

у' = ' = '=

=

=;

б) у'=

=4

=4

=;

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у':

 −sin

 −sin

 −y

Из последнего уравнения находим у':

2

Вопросы для самопроверки

 1. Что называется производной функции?

 2. Каков геометрический, физический смысл производной?

 3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке?

 4. Напишите основные правила дифференцирования функций.

 5. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

 6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

 7. Что называется дифференциалом функции?

 8. Каков геометрический смысл дифференциала функции.

 9. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

10. Напишите формулу, позволяющую находить приближенное значение функции при помощи ее дифференциала.

11. Как найти производную второго, третьего, n-го порядков?

12. Как найти дифференциал второго порядка от данной функции?

Примеры решения типовых задач по математике