Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Введение в анализ

Задача 6. Вычислить пределы:

а)  б)

в)  г)

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=−3 приводит к неопределенному выражению вида

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х:

===

==;

б) При  выражение  дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на ():

=

в) Обозначим . Тогда  и  при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела  имеем:

·

=·1·1= ;

г) При  выражение является неопределенностью вида 1∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при  величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

Тогда имеем: 

 =

Пусть 2х+1= −4у. Тогда 4х+5=−8у+3 и у при . Переходя к переменной у, получим:

=

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию у =

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на

Рис. 4

Интервалах (−∞; 1) и (1; ∞) и, следовательно, она непрерывна на этих интервалах. В точке х=1 функция имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конечные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

Вопросы для самопроверки

 1. Сформулируйте определение понятия функции.

 2. Что называется областью определения функции? Областью изменения функции?

 3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.

 4. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

 5. Что называется пределом числовой последовательности?

 6. Сформулируйте определение предела функции.

 7. Назовите основные свойства пределов функций.

 8. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой?

 9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Дайте определение односторонних пределов функции в точке.

13. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?

14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.

Примеры решения типовых задач по математике